Интегрирование по гиперповерхности в действии Эйнштейна-Гильберта

В варианте действия Эйнштейна-Гильберта интеграл от слагаемого г 4 Икс − г г мю ν дельта р мю ν над пространственно-временным многообразием равна нулю.

я "=" ∫ М г 4 Икс − г г мю ν дельта р мю ν "=" ∫ М г 4 Икс − г Д мю ( г α β дельта Г α β мю − г α мю дельта Г α β β )

Обозначая г α β дельта Г α β мю − г α мю дельта Г α β β "=" дельта В мю :

∫ М г 4 Икс − г Д мю дельта В мю "=" ∮ ∂ М г Σ мю дельта В мю "=" 0
где г Σ мю "=" н мю | γ | г 3 ξ , γ является 3 -мерная индуцированная метрика. В чем причина того, что интеграл равен нулю?

Обычно , когда кто-то выполняет вариацию действия, чтобы получить уравнения движения теории, и внезапно отбрасывает граничные члены, неустановленное предположение состоит в том, что вариации полей должны иметь компактную поддержку, а это означает, что они исчезают. вне компактного множества. В этом случае эти граничные интегралы в конечном итоге обнуляются. Но если вариации не поддерживаются компактно, нельзя отбрасывать эти термины. В частности, они важны для определения симплетической формы по методу Вальда. См., например, aip.scitation.org/doi/10.1063/1.528801 .

Ответы (1)

Это дивергенция вектора. Можно использовать теорему Стокса и сказать, что это равно граничному вкладу на бесконечности, который мы можем положить равным нулю.

На бесконечности / границе гиперповерхности изменение метрики равно нулю из-за незначительного изменения метрики?
Считаем, что деформации поля обращаются в нуль на границе.
Поле здесь метрическое поле?
Да, я имею в виду область, в отношении которой мы различаемся.
Это неправильно. Действие Эйнштейна-Гильберта содержит до двух производных в метрике, поэтому написанный вами граничный член содержит дельта г мю ν и его первая производная. Граничный член исчезает, если оба дельта г мю ν И его производная обращается в нуль на границе. Выполнение этого одновременно оказывается слишком сильным условием, поэтому мы должны выбрать одно. Стандартное граничное условие предполагает, что дельта г мю ν | бди "=" 0 . Затем термин, включающий его производное, должен быть отменен путем ДОБАВЛЕНИЯ дополнительного термина к действию (см. tinyurl.com/sh5oh3g ).
@ Прахар прав. Я отредактирую свой ответ.
@ApolloRa - ваш отредактированный ответ все еще неверен. Граничный член не равен нулю! В этом весь смысл моего комментария! Нам нужно ДОБАВИТЬ второй член к действию Эйнштейна-Гильберта (называемый термином GHY), чтобы отменить этот граничный вклад.
@ApolloRa - Понятно, что эти конспекты лекций являются очень простым введением в GR, и поэтому Кэрролл многое заметает под ковер. Это, очевидно, хорошо, поскольку вопросы границ не являются чем-то, что должен преподавать вводный курс. Вместо этого, если вы прочтете его учебник («Пространство-время и геометрия» Кэрролла) (абзац ниже уравнения (4.65)), вы увидите, что в нем есть дополнительное предложение о проблемах границ, о которых я упоминал. Опять же, он не обсуждает это подробно, поскольку это срывает основную дискуссию, которая интересует автора.
Интегрирование по гиперповерхности в действии Эйнштейна-Гильберта
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v