Предположим, что в любом измерении и теории действие инвариантен для глобальной симметрии с непрерывным параметром .
Хитрость, позволяющая получить ток Нётер, состоит в том, чтобы сделать изменение локальным: стандартный аргумент, который меня не убеждает и для которого я хотел бы получить более формальное объяснение, состоит в том, что, поскольку действует глобальная симметрия, единственный член фигурирующие в вариации, будут пропорциональны производным от и, следовательно, задействованный ток будет сохранен в оболочке:
Об этом говорится, например, в « Теории суперструн: том 1 » Грина Шварца Виттена на странице 69 и «Квантовая теория полей», том 1 Вайнберга на странице 307.
Другими словами, почему термин
Взяв ответ ниже, я считаю, что две хорошие ссылки
I) Пусть задан локальный функционал действия
с лагранжевой плотностью
[Мы оставляем читателю возможность распространиться на теории высших производных. См. также, например, Ref. 1.]
II) Мы хотим изучить бесконечно малую вариацию
координат пространства-времени и поля , с произвольным -зависимая бесконечно малая , и с некоторыми заданными фиксированными производящими функциями
Тогда соответствующая бесконечно малая вариация действия принимает форму
для некоторых структурных функций
а также
[Можно показать, что некоторые термины в структурная функция (6) пропорциональна еомам, которые, как правило, второго порядка, поэтому структурная функция (6) может зависеть от пространственно-временных производных второго порядка.]
III) Далее мы предполагаем, что действие имеет квазисимметрию за -независимый бесконечно малый . Тогда ур. (5) сводится к
IV) Теперь вернемся к вопросу ОП. В связи с тем, что экв. (8) выполняется для всех конфигураций поля вне оболочки, мы можем показать, что уравнение. (8) возможно только в том случае, если
является полным расхождением. (Здесь слова « в оболочке» и « вне оболочки » относятся к тому, удовлетворены ли eoms или нет.) Более подробно, есть две возможности:
Если мы знаем, что ур. (8) верно для любой области интегрирования , мы можем вывести уравнение (9) по локализации.
Если мы только знаем, что ур. (8) верно для одной фиксированной области интегрирования , то причина ур. (9) состоит в том, что производные Эйлера–Лагранжа функционала должен быть тождественно равен нулю. Следовательно сама по себе должна быть полной дивергенцией из-за алгебраической леммы Пуанкаре о так называемом двувариационном комплексе, см., например, Ref. 2. [Обратите внимание, что в принципе могут быть топологические препятствия в пространстве конфигураций поля, которые разрушают это доказательство уравнения. (9).] См. также этот связанный ответ Phys.SE от меня.
V) Можно показать, что структурные функции (7) и есть затравочные нётеровские токи. Затем определите полные токи Нётер.
On-shell, после интегрирования по частям, экв. (5) становится
для произвольного -зависимая бесконечно малая . Уравнение (11) в точности является искомым уравнением ОП. (*).
VI) Из уравнения (11) следует (через основную лемму вариационного исчисления ) закон сохранения
в соответствии с теоремой Нётер.
Использованная литература:
П. К. Таунсенд, Теоремы Нётер и высшие производные, arXiv:1605.07128 .
Г. Барнич, Ф. Брандт и М. Хенно, Локальные БРСТ-когомологии в калибровочных теориях, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .
--
Поскольку -зависимость от предполагается лишь навязанной нами искусственной уловкой, можно предположить, что никаких производных от в законе преобразования (3), так как такие члены все равно исчезли бы при является -независимый.
Обозначение : символ означает равенство по модулю граничных условий. символ означает равенство по модулю eqs. движения.
Квазисимметрия локального действия означает, что бесконечно малое изменение является граничным членом при преобразовании квазисимметрии.
jj_p
Qмеханик
Qмеханик
pppqqq
Qмеханик
pppqqq
Qмеханик
Лланг
Артуро дон Хуан