Можем ли мы определить порядок уравнений движения, просто взглянув на действие?

Наивно можно было бы ожидать, что уравнения ЭЛ, возникающие в результате действия, будут содержать производные (динамического поля) порядка, вдвое превышающего порядок старшей производной (динамического поля), присутствующей в действии. Однако из действия Эйнштейна-Гильберта мы знаем, что это ожидание не всегда верно.

Подытоживая историю, можно сказать, что производные метрики высшего порядка в действии EH — это производные метрики второго порядка, полученные из ∂ Г члены скаляра Риччи. Однако уравнения Эйнштейна не содержат производных метрики третьего порядка, а только производные метрики второго порядка (или младших). В этом легко убедиться, заметив, что производная метрики высшего порядка, присутствующая в тензоре/скаляре Риччи, является производной метрики второго порядка, опять же, происходящей из ∂ Г условия. Это волшебство происходит потому, что можно записать плотность лагранжиана EH как часть, содержащую только производные первого порядка (или младших) метрики, и часть, содержащую производные метрики второго порядка (или низшие), а вторая часть превращается быть чистым членом дивергенции, который не будет вносить вклад в уравнения ЭЛ. Таким образом, мы остаемся с уравнениями EL, которые содержат производные второго порядка метрики как производную высшего порядка метрики.

Я не знал этого до недавнего времени и помню, как использовал рассуждение «действие к -го порядка по производным динамических полей, поэтому мы получили бы 2 к Производные динамического поля -го порядка в уравнениях движения" во многих ситуациях в физике. Теперь я сбит с толку тем, что уравнения движения на один порядок ниже, чем ожидалось, во многих ситуациях, потому что это не кажется простым определением существует ли разложение лагранжевой плотности на нечисто-дивергентную и чисто-дивергентную части таким образом, что все члены производных высшего порядка находятся в чисто-дивергентных частях. Есть ли способ исследовать действие, чтобы сказать, является ли так это или нет без явного вывода уравнений ЭЛ?

Один из способов выяснить, существует ли такая ситуация, как вы объяснили (например, DE 2-го порядка для лагранжиана, содержащего вторую производную динамической переменной), - это, как обычно, изменить действие и увидеть граничные условия. Теперь, если в граничном члене нам нужно зафиксировать данных больше, чем требуется для правильной постановки действия, тогда порядок уравнения EL будет меньше, чем ожидалось.

Ответы (1)

  1. Если лагранжева плотность л имеет не более к е Н 0 пространственно-временные производные, то уравнения Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) будут иметь не более 2 к производные пространства-времени.

  2. Общие условия расхождения д мю Ф мю в лагранжевой плотности л не влияет на уравнения ЭЛ. Как уже упоминает OP, можно было бы переписать л "=" л ~ + д мю Ф мю в кусок л ~ скажем, только к ~ пространственно-временные производные, так что уравнение ЭЛ будет иметь не более 2 к ~ производные пространства-времени.

  3. Механизм в п. 2 — это то, что происходит для действия Эйнштейна-Гильберта 2-го порядка, ср. например, мой ответ Phys.SE здесь .

  4. В данной теории может быть утомительно/сложно идентифицировать все возможные скрытые термины полного расхождения. На практике проще просто вывести уравнения EL для начала, и если порядок производной меньше ожидаемого, попытаться определить скрытый член полного расхождения в л ~ что вызывает несоответствие.

Как всегда хороший ответ! Всего один дополнительный комментарий. Как уже упоминалось, хотя те же уравнения EL получаются, даже если плотность Лагранжа записывается как в пункте 2, но важно отметить, что принцип действия становится некорректным, если предположить, что F зависит от первой производной динамической переменной. Это, как объяснено, именно то, что происходит в действии Эйнштейна Гильбера, и из-за чего мы должны добавить термин GHY, чтобы сделать действие корректным.
Можем ли мы определить порядок уравнений движения, просто взглянув на действие?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v