Нахождение измерений в неэрмитовых операторах

Во многих текстах говорится, что наблюдаемая должна быть представлена ​​эрмитовым оператором. Этого достаточно , но не обязательно . В более общем смысле мы можем использовать любой оператор, который может быть выражен как линейная комбинация взаимно коммутирующих операторов проектирования. Такой оператор называется нормальным оператором . Обычный оператор$N$проще всего характеризуется тем, что он коммутирует со своим сопряженным:$N^*N = NN^*$. Примеры нормальных операторов включают эрмитовы операторы, индивидуальные проекционные операторы и унитарные операторы.

Вот пример, иллюстрирующий эту мысль. Если$P_1,P_2,...$являются операторами взаимно ортогонального проектирования, то оператор

$$A = a_1 P_1 + a_2 P_2 + \cdots$$ является нормальным оператором для любого выбора (возможно, сложных) коэффициентов$a_k$. Собственные векторы этого оператора взаимно ортогональны, поскольку проекционные операторы$P_k$являются. Если коэффициенты вещественные, то$A$является самосопряженным (эрмитовым). Но что действительно важно в квантовой теории, так это проекционные операторы$P_k$. Это то, что определяет различные возможные результаты измерения и относительную частоту этих результатов. Коэффициенты$a_k$просто удобные метки для результатов, позволяющие определять такие статистические данные, как средние значения и стандартные отклонения.

Достаточно использовать только самосопряженные операторы , потому что разрешение комплексных коэффициентов дает только более общий способ маркировки различных подразумеваемых проекционных операторов. Природе все равно, как мы обозначаем вещи.

В первом абзаце я сказал «взаимно коммутирующие проекционные операторы», что является более общим, чем «взаимно ортогональные проекционные операторы». Последнее подразумевает первое, но не наоборот. Первый необходим для включения наблюдаемых, таких как оператор положения в нерелятивистской квантовой механике, который не имеет (нормализуемых) собственных векторов. Однако он по-прежнему неявно определяет проекционные операторы, такие как

$$P\psi(x)=\begin{cases} \psi(x)&\text{ if }x\in R\\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases}$$ где$R$есть некоторая область пространства. Мы можем думать об обычном операторе положения$X$как удобное однооператорное представление всей этой алгебры взаимно коммутирующих проекционных операторов. Это проекционные операторы, которые мы используем в постулатах измерения. Тот факт, что любой нормальный оператор неявно определяет такой набор взаимно коммутирующих проекционных операторов, является предметом теоремы о спектральном разложении .

При любом наблюдаемом$A$, если$P$является одним из проекционных операторов, которые он неявно определяет (через теорему о спектральном разложении), то измерение$A$приведет к состоянию$|\psi'\rangle$который удовлетворяет либо$P|\psi'\rangle = |\psi'\rangle$или$(1-P)|\psi'\rangle=|\psi'\rangle$. (Я не пытаюсь отстаивать здесь какую-либо конкретную интерпретацию квантовой теории; я просто пытаюсь быть кратким.) В терминах состояния$|\psi\rangle$до измерения относительные частоты этих двух возможных исходов равны$\psi(P)$и$\psi(1-P)$соответственно, используя аббревиатуру

$$\psi(\cdots)\equiv\frac{\langle\psi|\cdots|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}.$$ Дело в том, что нам не нужно беспокоиться, если$A$не имеет полного набора (нормализуемых) собственных состояний. Пока$A$является нормальным оператором, мы по-прежнему можем использовать соответствующие проекционные операторы, чтобы делать полезные прогнозы, поскольку каждый из проекционных операторов имеет (нормализуемые) собственные векторы. Пока все они коммутируют друг с другом, мы можем думать обо всем этом наборе проекционных операторов как о связке взаимно совместимых наблюдаемых, каждая из которых имеет только два возможных результата.