Собственные значения, эрмитовы операторы и наблюдаемые в квантовой механике

Рассмотрим эрмитов оператор. Так

а) в пространстве бесконечной размерности его собственные векторы являются базой.

б) в конечномерном пространстве матрица, представляющая эрмитов оператор, всегда диагонализируема.

в) 2 собственных вектора, соответствующие разным собственным значениям, коллинеарны.

г) в конечном N-мерном пространстве имеется N линейно зависимых собственных векторов

Я должен обосновать, что верно и почему оно истинно, а все остальное ложно. Мой учитель сказал, что правильный ответ б).

Из квантовой механики я узнал, что эрмитов оператор всегда имеет действительные собственные значения. Оператор диагонализируем, и значения диагонали являются его собственными значениями.

Наблюдаемая — это эрмитов оператор, собственные векторы которого составляют ортонормированный базис пространства E, даже если оно имеет бесконечную размерность.

На мой взгляд, и а), и б) верны. Я не понимаю, почему а) неправильно.

Каким будет ответ, если в утверждении вместо рассмотрения эрмитова оператора мы рассмотрим наблюдаемую?

При бесконечном наборе базисных векторов заданный вектор представляет собой линейную комбинацию бесконечного множества базисных векторов. Я не уверен, правильно ли это определено, см., например, здесь en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_алгебра)#Definition

Ответы (1)

Во-первых, вы правы в том, что б) правильно, а в) неправильно.

г) немного странно - если в → является собственным вектором, то 2 в → , 3 в → , ..., Н в → - это Н линейно зависимые собственные векторы. Однако намерение спрашивающего, очевидно, состоит в том, чтобы вы поняли, что «правильным» утверждением было бы «существуют Н линейно по зависимым собственным векторам».

Проблема с а) заключается в том, что операторы могут быть немного странными в бесконечномерных пространствах, и иногда не стоит думать о них как о матрицах. Возможно, самым простым контрпримером к а) является позиционный оператор (на л 2 ( р ) )

( Икс ^ ψ ) ( Икс ) "=" Икс ψ ( Икс ) .
Икс ^ является эрмитовым (с правильной областью определения), но не имеет собственных векторов: Икс ψ λ ( Икс ) "=" λ ψ λ ( Икс ) подразумевает, что ψ λ ( Икс ) "=" 0 в любое время Икс ≠ λ , так ψ λ ( Икс ) "=" 0 почти везде.

На лекциях по физике вы будете работать с «обобщенными собственными значениями». λ е р которые соответствуют «обобщенным собственным функциям» ψ λ ( Икс ) "=" дельта ( Икс − λ ) , но обратите внимание, что ψ λ не находится в гильбертовом пространстве л 2 ( р ) . Математики скажут вам, что спектр Икс ^ не дискретна, а непрерывна. В любом случае утверждение, что «собственные векторы являются базисом гильбертова пространства», неверно.

Путем подходящего распространения понятия «эрмитовость» на оснащенные гильбертовы пространства можно показать, что спектральная теорема Гельфанда-Костюченко-Маурина дает подтверждение: «Рассмотрим эрмитов оператор. Итак, // а) в пространстве бесконечной размерности его собственные векторы являются базой». PS Нигде ни в задаче, ни в написанном пользователем тексте не упоминается "гильбертово пространство", так зачем его поднимать? ;)
Можно возразить, что «эрмитовость» (на самом деле здесь имеется в виду, вероятно, «самосопряженность») уже подразумевает, что мы говорим о гильбертовых пространствах.
Собственные значения, эрмитовы операторы и наблюдаемые в квантовой механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v