Собственные значения являются физическими наблюдаемыми

Question

Собственные значения являются физическими наблюдаемыми

Физика
операторы
собственное значение
наблюдаемые
квантовая механика

Стивен Сагона

Думаю, меня устраивают решения уравнения Шредингера в частных производных. Но как только мы начинаем помещать эти значения в матрицу (в нотации Дирака), я теряю понимание, и все превращается в математическую магию «подключи и пыхти».

Мне интересно, понимает ли кто-нибудь, почему собственные значения собственных состояний матрицы соответствуют физическим наблюдаемым. То есть, как мы можем показать, используя волновую механику, что собственные значения наших собственных функций в нашем УЧП могут соответствовать собственным значениям наших собственных векторов в матрице? И можем ли мы использовать это понимание, чтобы лучше понять, что происходит, когда мы смотрим на собственные значения собственных векторов поворота нашей матрицы?

пользователь26143

У нас есть собственное уравнение

А | а ⟩ "=" а | а ⟩

$A |a \rangle = a | a \rangle$ в абстрактном векторном пространстве. Когда мы используем дискретный базис, оно становится матричным уравнением

⟨ н | А | а ⟩ "=" а ⟨ н | а ⟩

$\langle n | A |a \rangle = a \langle n | a \rangle$ . Когда мы используем непрерывный базис,

⟨ Икс | А | а ⟩ "=" а ⟨ Икс | а ⟩

$\langle x | A |a \rangle = a \langle x | a \rangle$ оно становится дифференциальным уравнением.

Любопытный

«Мне интересно, понимает ли кто-нибудь, почему собственные значения собственных состояний матрицы соответствуют физическим наблюдаемым». Я думаю, вы имеете в виду правило Борна. Это независимая аксиома теории, которая до настоящего времени не была опровергнута экспериментально. Строго говоря, в этой форме он действителен только в плоском пространстве-времени без гравитации (хотя можно решать задачи со слабым гравитационным потенциалом специальным образом). Нельзя вывести правило Борна из остальной части стандартной квантовой механики.

Пузырь

Как и большинство из нас, вас неправильно учили QM. Забудьте об УЧП Шредингера и обо всем, что вы уже узнали о КМ. Серьезно. Это всего лишь одна специальная основа, которая дает мало информации по сравнению с полной теорией. Это следует обсудить после ознакомления с основными идеями УК. Просто возьмите Сакурай и начните читать. Поверьте мне, вы будете счастливы, что узнали это правильно позже.

Стивен Сагона

@CuriousOne Я не знал, что у этой аксиомы есть имя. Спасибо вам за это. Поэтому я думаю, что мой вопрос можно было бы перефразировать так: «Как перейти от правила Борна в обозначениях Дирака к правилу Борна, используемому в утверждениях волновой механики».

Стивен Сагона

@Bubble Я знаком с Сакурай, но, думаю, я больше знаком с PDE. Я могу следовать большинству доказательств в сакурай, но работа в нотации Дирака в целом вызывает у меня дискомфорт. PDE можно применять ко всем видам сценариев, но я не могу сказать, что мне удобно применять математику в нотации Дирака к любой проблеме, которая не относится к квантовой механике.

Любопытный

@StevenSagona: нотация Дирака - это, по сути, не что иное, как способ для физиков написать скалярное произведение в векторных пространствах (вот что в основном представляет собой гильбертово пространство ... векторное пространство с бесконечным числом измерений). Вы сделали ТОЧНО то же самое в старшей школе (или на первом курсе колледжа) в конечном числе измерений (n = 2 или 3), когда вы вычисляли длину вектора и углы между векторами, используя скалярное произведение . Оператор в скобке есть не что иное, как линейная алгебра с матрицами.

Ответы (2)

Собственные значения являются физическими наблюдаемыми

У нас есть собственное уравнение $А | а ⟩ "=" а | а ⟩$ $A |a \rangle = a | a \rangle$ в абстрактном векторном пространстве. Когда мы используем дискретный базис, оно становится матричным уравнением $⟨ н | А | а ⟩ "=" а ⟨ н | а ⟩$ $\langle n | A |a \rangle = a \langle n | a \rangle$ . Когда мы используем непрерывный базис, $⟨ Икс | А | а ⟩ "=" а ⟨ Икс | а ⟩$ $\langle x | A |a \rangle = a \langle x | a \rangle$ оно становится дифференциальным уравнением.
«Мне интересно, понимает ли кто-нибудь, почему собственные значения собственных состояний матрицы соответствуют физическим наблюдаемым». Я думаю, вы имеете в виду правило Борна. Это независимая аксиома теории, которая до настоящего времени не была опровергнута экспериментально. Строго говоря, в этой форме он действителен только в плоском пространстве-времени без гравитации (хотя можно решать задачи со слабым гравитационным потенциалом специальным образом). Нельзя вывести правило Борна из остальной части стандартной квантовой механики.
Как и большинство из нас, вас неправильно учили QM. Забудьте об УЧП Шредингера и обо всем, что вы уже узнали о КМ. Серьезно. Это всего лишь одна специальная основа, которая дает мало информации по сравнению с полной теорией. Это следует обсудить после ознакомления с основными идеями УК. Просто возьмите Сакурай и начните читать. Поверьте мне, вы будете счастливы, что узнали это правильно позже.
@CuriousOne Я не знал, что у этой аксиомы есть имя. Спасибо вам за это. Поэтому я думаю, что мой вопрос можно было бы перефразировать так: «Как перейти от правила Борна в обозначениях Дирака к правилу Борна, используемому в утверждениях волновой механики».
@Bubble Я знаком с Сакурай, но, думаю, я больше знаком с PDE. Я могу следовать большинству доказательств в сакурай, но работа в нотации Дирака в целом вызывает у меня дискомфорт. PDE можно применять ко всем видам сценариев, но я не могу сказать, что мне удобно применять математику в нотации Дирака к любой проблеме, которая не относится к квантовой механике.
@StevenSagona: нотация Дирака - это, по сути, не что иное, как способ для физиков написать скалярное произведение в векторных пространствах (вот что в основном представляет собой гильбертово пространство ... векторное пространство с бесконечным числом измерений). Вы сделали ТОЧНО то же самое в старшей школе (или на первом курсе колледжа) в конечном числе измерений (n = 2 или 3), когда вы вычисляли длину вектора и углы между векторами, используя скалярное произведение . Оператор в скобке есть не что иное, как линейная алгебра с матрицами.

юггиб · Answer 1

То, о чем вы спрашиваете, в математических терминах называется спектральной теоремой . Не знаю, насколько вас интересуют подробности, но любой самосопряженный оператор $A$ (линейный оператор в частных производных в гильбертовом пространстве) можно записать как

А "=" \int_{о (А)} λ д п_{λ},

$A=\int_{\sigma(A)}\lambda dP_\lambda\;,$ где

σ (A)

$\sigma(A)$ это спектр

A

$A$ и

d P_{λ}

$dP_\lambda$ спектральная мера (проекционнозначная мера). Если оператор имеет чисто дискретный спектр (с конечными кратностями), т. е. оператор либо компактен, либо с компактной резольвентой, это сводится к, может быть, более знакомой форме:

А "=" \sum_{я} λ_{я} | ф_{λ_{я}} ⟩ ⟨ ф_{λ_{я}} |

$A=\sum_i \lambda_i \lvert \phi_{\lambda_i}\rangle\langle\phi_{\lambda_i}\rvert$ где

λ_{i}

$\lambda_i$ являются собственными значениями (повторяются, если они имеют кратность

> 1

$>1$ ), и

ϕ_{λ_{i}}

$\phi_{\lambda_i}$ соответствующий собственный вектор.

Как видите, между оператором и его собственными значениями/собственными векторами существует естественная идентификация; и обозначение Дирака $\langle\psi \rvert A\lvert\phi\rangle$ это просто способ записи скалярного произведения между $A\phi$ и $\psi$ . Используя приведенное выше разложение, мы получаем

⟨ ψ | А | ф ⟩ "=" \sum_{я} λ_{я} ⟨ ψ, ф_{λ_{я}} ⟩ ⟨ ф_{λ_{я}}, ф ⟩

$\langle\psi \rvert A\lvert\phi\rangle=\sum_i \lambda_i \langle\psi,\phi_{\lambda_i}\rangle\langle\phi_{\lambda_i},\phi\rangle$ Имейте в виду, что мы можем формально построить «матрицу, связанную с

A

$A$ " быть (бесконечной) матрицей с элементами

M_{i j} = ⟨ e_{i} | A | e_{j} ⟩

$M_{ij}=\langle e_i \rvert A\lvert e_j \rangle$ , с

{e_{i}}_{i \in N}

$\{e_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ ортонормированный базис гильбертова пространства. Эта матрица диагональна тогда и только тогда, когда мы выбрали за основу собственные векторы оператора

A

$A$ , а диагональные элементы являются соответствующими собственными значениями. Очевидно, что эта наивная картина неверна, если оператор также имеет непрерывный спектр.

Это механика линейных операторов, но она не объясняет, почему физические наблюдаемые возникают именно так, а не иначе, о чем, кажется, спрашивает ОП.
@CuriousOne «То есть, как мы можем показать, используя волновую механику, что собственные значения наших собственных функций в нашем PDE могут соответствовать собственным значениям наших собственных векторов в матрице?» Таким образом, ответ мне кажется подходящим для того, что он спрашивает, т.е. корреляции между собственными значениями линейного оператора с частными производными и значениями «матрицы» в обозначениях Дирака. Это не казалось вопросом об основах мер QM, но, возможно, я ошибаюсь... ну, у него есть ответы на оба возможных вопроса, так что это лучше ;-)
ОП спросил: «Мне интересно, понимает ли кто-нибудь, почему собственные значения собственных состояний матрицы соответствуют физическим наблюдаемым». Это не следует из линейности формализма. Это независимая аксиома. Может быть, он задает два вопроса в одном?
@CuriousOne да, может быть. Однако ваша интерпретация кажется разделяемой (по крайней мере, аланфом). Посмотрим, что скажет ОП.
Я думаю, что это источник моих опасений. У вас есть рекомендация прочитать, чтобы узнать больше о спектральной теореме? Я попытался погуглить и нашел действительно тяжелый материал , ориентированный на доказательство . У меня есть некоторое математическое образование, поэтому чтение этого МОЖЕТ быть выполнимым. Но у меня такое чувство, что я останусь практически без интуиции о том, что на самом деле происходит в математике.
@StevenSagona К сожалению, спектральная теорема часто представлена в довольно сложной математической форме, и я не знаю об источниках, которые делают это интуитивно ... может быть, потому, что спектральная теорема не такая интуитивная ;-) Однако достаточно просто ссылкой может быть эта книга Холла . Если позже у меня будет время, я также могу немного расширить ответ, чтобы объяснить хотя бы основы спектральной теоремы (для компактных операторов).

аланф · Answer 2

Измерение не является примитивом в физике. Скорее, измерение — это физический процесс, происходящий в соответствии с теми же законами физики, что и любой другой физический процесс. Те же самые законы применимы к измерительному прибору, к человеку, производящему измерение, и к записям, которые он делает об измерении. Что отличает измерение от любого другого физического процесса? Одним из свойств, которое необходимо для того, чтобы конкретный процесс считался измерением, является возможность копирования результата. То есть должна быть возможность, чтобы результат присутствовал в одной системе до копирования и более чем в одной системе после этого.

Итак, какие операторы представляют результаты, которые можно скопировать таким образом? Согласно квантовой механике, системы развиваются унитарно. Любой унитарный оператор можно записать в виде:

U "=" Σ_{а} е^{я ф_{а}} | а ⟩ ⟨ а |,

$U = \Sigma_a e^{i\phi_a}|a\rangle\langle a|,$ где

| a ⟩

$|a\rangle$ образуют ортонормированное множество. Чтобы скопировать результат, этот оператор должен оставить копируемый оператор без изменений, и единственные операторы, которые он оставляет неизменными, — это обычные операторы. Обычные операторы, которые представляют, происходит что-то или нет, являются проекторами, поэтому значения, прикрепленные к этим проекторам, собственные значения, представляют возможные результаты измерения.

Более подробное обсуждение см.

http://arxiv.org/abs/quant-ph/0703160 .

Я прочитал большую часть газеты. Я не могу сказать, что понял каждый шаг (может быть, я задам новый вопрос, чтобы ответить на то, что я не получил в статье). Говорит ли это о том, что правило Борна можно вывести, полагаясь на аргумент симметрии и неволновую функцию? -рушащиеся аксиомы КМ? Не слишком ли много заявлять, что вы решили проблему измерения QM? Является ли эта статья спорной?

Собственные значения являются физическими наблюдаемыми

Стивен Сагона

пользователь26143

Любопытный

Пузырь

Стивен Сагона

Стивен Сагона

Любопытный

Ответы (2)

юггиб

Любопытный

юггиб

Любопытный

юггиб

Стивен Сагона

юггиб

аланф

Стивен Сагона

Всегда ли математическое ожидание является собственным значением?

Собственные значения, эрмитовы операторы и наблюдаемые в квантовой механике

Почему измеренное значение некоторого наблюдаемого ААА всегда является собственным значением соответствующего оператора?

Нахождение измерений в неэрмитовых операторах

Почему мы используем собственные значения для представления наблюдаемых значений в квантовой механике?

Почему мы используем эрмитовы операторы в QM?

Собственные значения квантового поля?

Всегда ли собственные векторы ортогональны друг другу?

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Выполняется ли уравнение неопределенности Гейзенберга, когда одна из наблюдаемых имеет нулевую дисперсию?