Квантовая механика — измерение положения

Собственно, результатом работы экспериментального аппарата является интервал$(x_0-\delta, x_0+\delta)$.$\delta>0$остается для точности инструмента, который можно делать все меньше и меньше, но нельзя убрать.

Поэтому предполагается ( аксиома Людерса-фон Неймана ), что если состояние непосредственно перед измерением определялось волновой функцией

$$\psi\:,$$ тот, что сразу после него, до нормализации, $$\chi_{(x-\delta, x+\delta)}\psi\:.$$ Здесь $\chi_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}(x)=1$если $x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)$и $\chi_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}(x)=0$если $x\not \in (x_0-\delta, x_0+\delta)$.

Абстрактно, если начальное состояние вектора$\psi$, последний$P_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}\psi$. Оператор$P_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}$являющийся ортогональным проектором PVM оператора положения, связанного с интервалом$(x_0-\delta, x_0+\delta)$.

Очевидно, что это теоретическое описание очень идеальной процедуры измерения.

Если, в отличие от наблюдаемой позиции, спектр которой непрерывен, процесс измерения касается наблюдаемой$A$с точечным спектром и элементами спектра являются изолированные точки, всегда можно предположить существование измерительного прибора, чувствительность которого$\delta>0$меньше, чем расстояние пар последовательных значений$A$. Таким образом, даже если на измерение влияет экспериментальная ошибка, представленная$\delta>0$, мы можем различать пары собственных значений, и аксиома Людерса-фон Неймана принимает более знакомую стандартную форму: состояние после измерения с результатом$a_0$процедура представлена ​​собственным вектором с собственным значением$a_0$. (Это верно, если собственное пространство имеет размерность$1$в противном случае снова верна общая абстрактная форма аксиомы L-vN.)

ДОБАВЛЕНИЕ (после обсуждения с valerio92).

Здесь я подробно доказываю, как общая форма постулата Л-вН приводит к стандартному постулату коллапса волновой функции после неточного измерения положения.

Для квантовой системы, описанной над сепарабельным комплексным гильбертовым пространством$\cal H$, квантовое состояние является вероятностной мерой$\mu$над небулевой решеткой$\cal L(\cal H)$ортогональных проекторов в гильбертовом пространстве ( подробности см. в этом моем ответе ).$P \in \cal L(\cal H)$имеет смысл наблюдаемой, значения которой только$0$или$1$, я имею в виду наблюдаемое ДА/НЕТ .$\mu(P)$вероятность того, что$P$оказывается верным, если измерять его, когда состояние$\mu$.

Теорема Глисона доказывает, что если гильбертово пространство сепарабельно с размерностью$\neq 2$, существует однозначное соответствие между этими вероятностными мерами и матрицами плотности . Это unit-trace, trace class, положительные операторы.$\rho : \cal H \to \cal H$. Это соответствие таково, что

$$\mu_\rho (P) = tr(\rho P)$$ для каждого $P \in \cal L (\cal H)$.

Общая форма аксиомы L-vN такова.

Аксиома L-vN . Позволять$P$быть ортогональным проектором, представляющим элементарную наблюдаемую физической системы, и$\rho$Штат. Если результат измерения$P$когда государство$\rho$является$1$(ДА), состояние после измерения

$$\rho_P = \frac{P\rho P}{tr(\rho P)}\:.\tag{1}$$ Этот постулат имеет прямую условно-вероятностную интерпретацию: $\mu_{\rho_P}$- единственная вероятностная мера такая, что $$\mu_{\rho_P}(Q) = \frac{\mu(Q)}{\mu(P)}$$ для каждого $Q \in \cal L (\cal H)$с $Q \leq P$.

Чистые состояния по определению являются экстремальными элементами выпуклого тела указанных мер. Другими словами, матрица плотности$\rho$является чистым состоянием, если нет$p,q\in (0,1)$с$p+q=1$и матрицы плотности$\rho_1\neq \rho_2$такой, что$\rho = p\rho_1 + q \rho_2$.

Оказывается, что$\rho$чисто тогда и только тогда, когда оно имеет вид

$$\rho = |\psi \rangle \langle \psi |$$ для некоторых $\psi \in \cal H$с $||\psi||=1$.

Очевидно, единичные векторы$\psi$и$\psi'$определяют одно и то же чистое состояние тогда и только тогда, когда$\psi = e^{ia}\psi'$для некоторых$a \in \mathbb R$.

Постулат L-vN, примененный к чистым состояниям, специализируется на этом утверждении.

Аксиома L-vN (чистые состояния) . Позволять$P$быть ортогональным проектором, представляющим элементарную наблюдаемую физической системы, и$|\psi \rangle \langle \psi |$чистое состояние. Если результат измерения$P$когда государство$|\psi \rangle \langle \psi |$является$1$(ДА), состояние после измерения все еще чистое имеет вид

$$|\psi_P \rangle \langle \psi_P | = \frac{P|\psi \rangle \langle \psi | P}{tr(|\psi \rangle \langle \psi | P)}\:.\tag{2}$$

С$tr(|\psi \rangle \langle \psi | P)= ||P \psi||^2$, так что

$$|\psi_P \rangle \langle \psi_P | = \frac{P|\psi \rangle \langle \psi | P}{||\psi|| \: ||\psi||}\:,$$ постулат можно перефразировать следующим образом.

Аксиома L-vN (чистые состояния 2) . Позволять$P$— ортогональный проектор, представляющий элементарную наблюдаемую физической системы, и пусть единичный вектор$\psi \in \cal H$представляют собой чистое состояние с точностью до фаз. Если результат измерения$P$когда государство представлено$\psi$является$1$(ДА), состояние после измерения остается чистым и представляется с точностью до фаз единичным вектором

$$\psi_P = \frac{P\psi}{||P\psi||}\:.\tag{3}$$

В конце концов придем к положению, наблюдаемому для частицы, движущейся вдоль вещественной оси.

Здесь${\cal H} = L^2(\mathbb R, dx)$а наблюдаемая позиция - это самосопряженный мультипликативный оператор

$$(X \psi)(x):= x\psi(x)$$ с очевидным доменом.

Спектральное разложение$X$связывает его с проекторнозначной мерой$\{P_E\}_{E \in B(\mathbb R)}$где$B(\mathbb R)$это класс борелевского множества действительной оси, например$E$может быть интервал$E=(a,b)$. Спектральная теорема говорит, что$P_E$определяется так

$$(P_E \psi)(x):= \chi_E(x)\psi(x)\quad \forall x \in \mathbb R\:.\tag{4}$$ Смысл ортогонального проектора $P_E$является

$$\mbox{"the position of the particle stays in $E$"}$$

На самом деле, если$\psi \in L^2(\mathbb R, dx )$- нормированный вектор, представляющий чистое состояние, вероятность того, что$P_E$правда это

$$tr(P_E |\psi\rangle \langle \psi|)= ||P_E\psi||^2 = \int_{\mathbb R} |\chi_E(x) \psi(x)|^2 dx = \int_E |\psi(x)|^2 dx\:,$$ в полном согласии с более элементарными версиями квантовой механики.

При такой интерпретации измерение$X$означает измерение каждого $P_E$или хотя бы измерить класс взаимоисключающих элементарных предложений$P_{(ns, (n+1)s]}$с$n \in \mathbb Z$где$s$это чувствительность инструмента.

Предположим, что начальное состояние частицы чистое и (с точностью до фаз) представлено (нормированной) волновой функцией$\psi$. Предположим, что мы проводим измерение положения и обнаруживаем, что частица остается в$E \subset \mathbb R$. Что такое состояние после измерения согласно постулату Людерса и фон Неймана?

Мы можем применить нашу третью версию, специализированную для чистых состояний, описанных в терминах единичных векторов. Состояние после измерения$\psi_E$, с точностью до фазы, представлен вектором в (3):

$$\psi_E := \frac{P_E \psi}{||P_E \psi||}\:.$$ Учитывая (4), находим $$\psi_E(x) = \frac{\chi_E(x) \psi(x)}{\sqrt{\int_E |\psi(z)|^2 dz}}\:.$$