Инвариантность лагранжиана в теореме Нётер

Здесь я хотел бы упомянуть понятие квазисимметрии. В общем, если лагранжиан (соответственно плотность лагранжиана, соответственно действие) инвариантен только до полной производной по времени (соответственно пространственно-временной дивергенции, соответственно граничного члена) при выполнении определенного внеоболочечного$^1$вариация, говорят о квазисимметрии, см., например, работу. 1.

Первая теорема Нётер верна и для квазисимметрий. Примеры нетривиальных законов сохранения, связанных с квазисимметриями, см. в примерах 1, 2 и 3 в статье Википедии о теореме Нётер .

Использованная литература:

1. Дж. В. Хосе и Э. Дж. Салетан, Классическая динамика: современный подход, 1998; п. 565.

--

$^1$Здесь слово вне оболочки означает, что уравнения Эйлера-Лагранжа (EL). движения не предполагаются выполненными при конкретной вариации. Если мы примем уравнения EL. движения, любая вариация лагранжиана тривиально является полной производной.

Я просто хотел бы сказать, что стандартная теорема Нётер очень применима к случаю, когда$\delta L = \dot f$. Например, перевод времени имеет такую ​​форму. Мы можем увидеть это, выполнив процедуру Нётер для крошечного перевода времени.

$$q(t) \to q(t + \varepsilon) \approx q(t) + \varepsilon \dot q(t)\\ \dot q(t) \to \dot q(t) + \varepsilon \ddot q(t)$$ Это отправляет $$L \to L + \varepsilon \dot L$$ как и было обещано. Если мы затем сделаем$\varepsilon$в крошечную функцию, зависящую от времени$\varepsilon(t)$, теперь у нас есть

$$q(t) \to q(t) + \varepsilon(t) \dot q(t) \\ \dot q(t) \to \dot q(t) + \varepsilon(t) \ddot q(t) + \dot \varepsilon(t) \dot q(t).$$

Немного повозившись с цепным правилом исчисления с несколькими переменными, мы обнаруживаем, что это посылает

$$L \to L + \varepsilon \dot L + \dot \varepsilon \dot q \frac{\partial L}{\partial \dot q}$$

Затем воспользуемся тем, что$\delta S = 0$по решениям уравнений движения и после интегрирования по частям находим, что

$$\frac{d}{dt} ( p \dot q - L ) = 0$$

о решениях уравнений движения. Это просто сохранение энергии

Симметрии TLDR, которые меняются$L$полной производной просто включаются в теорему Нётер без необходимости делать что-либо дополнительно. Перевод времени является примером этого.

Однако,$\delta L \propto L$немного экзотичнее. Выполнение процедуры Нётер на лагранжиане свободной частицы$(L = m \dot q^2 / 2)$который имеет масштабную симметрию$q \to (1+\varepsilon) q$, я считаю, что "закон сохранения" (если вы хотите его так назвать) просто$m q\ddot q = 0$, что тривиально$0$во всяком случае по уравнениям движения.