Связь между векторным полем, генератором и скалярным полем в теореме Нётер

Элементы вашего вопроса кажутся немного расплывчатыми, поэтому я рассмотрю теорему Нётер и рассмотрю пример. Надеюсь, мы сможем обратиться

Интересно, "какая величина" сохраняется по отношению к конкретной симметрии

Мы будем использовать дифференциальную геометрию, поскольку OP формулирует свой вопрос, используя эту терминологию.

Позволять$\phi$— симплектическое действие группы Ли$G$на коллекторе конфигурации$Q$. Мы можем перенести это действие в фазовое пространство$T^*Q$как$\phi^{T^*}$. Действие имеет$Ad^*$-эквивариантное отображение импульса, заданное:

$$J:T^*Q\rightarrow \mathfrak g ^*; \ \hat J (\xi )(\alpha _q) = \alpha _q \cdot \xi _Q(q)\qquad \tag{1}$$ где $\xi_q$является бесконечно малым генератором $\phi$на $Q$для $\xi \in \mathfrak g$, $J$карта импульса и $\hat J$является гомоморфизмом алгебры Ли. Эквивариантность означает, что коцикл равен нулю. Позволять $X$быть векторным полем на $Q$, тогда импульс равен:

$$P(X):T^*Q\rightarrow \mathbb R ; \ \alpha_q \mapsto \alpha _q\cdot X(q)\tag{2}$$

и поэтому$\hat J(\xi) = P(\xi_q)$.

В качестве примера пусть$Q=\mathbb R^n`$,$G=\mathbb R^n`$,и разреши$G$воздействовать на$Q$по переводу:

$$\phi :G\times Q \rightarrow Q: (q',q)\mapsto q'+q$$

Бесконечно малый генератор$\xi _Q (q) = \xi$и карта импульса:

$$\hat J(\xi)\cdot (q,p) = p\cdot \xi$$

Так$J$линейный импульс.

В качестве другого примера предположим, что$H$инвариантен относительно действия$\phi$:

$$H(x) = H(\phi_g(x)) \qquad \forall \ x\in (q,p), \ g \in G$$

затем$J$является интегралом для$X_H$. Другими словами,$J$инвариантен относительно течения$X_H$.

---

Обобщить:

• у нас была группа Ли$G$и алгебра Ли$\xi \in \mathfrak g$. Мы требовали, чтобы для каждого$g\in G$действие симплектическое.

• мы ввели отображение импульса для действия как отображение$J$где$J : T^*Q\rightarrow \mathfrak g^*$при условии, что$\forall \ \xi \in \mathfrak g$у нас есть:

$$d\hat J(\xi) = \iota_{\xi_{T^*Q}}\omega$$

• в прямом ответе на ваш вопрос, под симплектическим действием$G$, импульс$J$является интегралом векторного поля, связанного с инвариантной функцией.

У меня сейчас нет времени точно проверять все тонкости, тем не менее, следующее должно ответить на ваши опасения.

Предположим, что группа Ли$G$действует на конфигурационный коллектор слева, действие$G\times M\rightarrow M$. Пусть это обозначается как$(g,x)\mapsto gx\equiv l_g(x)$.

Удобнее работать с правильным действием, поэтому пусть$\rho_g:M\rightarrow M,\ \rho_g(x)=l_{g^{-1}}(x)$, что теперь является правильным действием.

Действие конечной группы также определяет бесконечно малые действия. Если$A\in\mathfrak g$является элементом алгебры Ли, то инфинитезимальное преобразование, связанное с$A$векторное поле$X_A$определяется

$$X_A|_x=\left.\frac{d}{d\epsilon}\rho_{\exp(\epsilon A)}(x)\right|_{\epsilon=0}.$$ Можно убедиться, что карта $A\mapsto X_A$является гомоморфизмом алгебр Ли. Кроме того, если групповое действие $\rho$является «верным» в том смысле, что карта $G\mapsto\text{Diff}(M),\ g\mapsto\rho_g$является инъективным гомоморфизмом групп, то $A\mapsto X_A$является инъективным гомоморфизмом алгебр Ли, следовательно, если $T_a$( $a=1,...,\dim G=k$) — набор образующих алгебры Ли $\mathfrak g$, и если $$[T_a,T_b]=C^c_{ab}T_c,$$ затем $$[X_a,X_b]=C^c_{ab}X_c,$$ где $X_a:=X_{T_a}$.

Обратите внимание, что векторное поле$X_A$это то, что можно было бы написать как$\delta q^i$в более... традиционных обозначениях.

Мы можем сделать$G$воздействовать на$TM$вместо$M$касательным продолжением (я не хочу вдаваться в детали), следовательно, существуют и инфинитезимальные преобразования на$TM$, заданное векторным полем$\bar{X}_A$(который определяется на$TM$, в отличие от$M$).

Группа$G$является бесконечно малой группой симметрии для действия, если при бесконечно малых действиях (например.$\bar{X}_A$) лагранжиан меняется на полную производную:$\delta L=\mathcal L_{\bar{X}_A}L=\frac{d}{dt}K_A$.

Тогда заряд

$$Q_A=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}X_A^i-K_A$$ есть постоянная движения.

Учитывая, что любое бесконечно малое преобразование (из$\mathfrak g$) является симметрией, мы можем сделать это для каждой образующей$T_a$, и получить$k$сохраняющиеся заряды

$$Q_a=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}X^i_a-K_a.$$

Заряды являются функциями в фазовом пространстве скоростей$TM$. Однако вы можете использовать преобразование Лежандра, чтобы переинтерпретировать их как функции в импульсном фазовом пространстве .

Тогда, как выясняется, у нас есть следующие соотношения скобки Пуассона:

$$\{Q_a,Q_b\}=C^c_{ab}Q_c+c_{ab},$$ где алгебра Пуассона зарядов $Q_a$разрешено иметь центральные заряды $c_{ab}$которые коммутируют со всеми генераторами.

---

Короче говоря, алгебра Ли группы симметрии$G$здесь есть три различных реализации.

• Абстрактный, заданный абстрактными генераторами$T_a$.

• Алгебра Ли бесконечно малых преобразований$X_A$(это часто называемые «вариации» или «деривации»).

• Подалгебра Ли алгебры Пуассона функций фазового пространства, заданная формулой$k$сохраняющиеся заряды$Q_a$. Однако этому разрешено иметь центр.

В вашем случае углового момента группа симметрии$\text{SO}(3)$, «абстрактная» алгебра задается обычными матрицами образующих вращения, алгебра «деривации» задается тремя векторными полями, соответствующими образующим алгебры через групповое действие (и это, по сути, три вращательных векторных поля Киллинга евклидовой метрики ! ), а «пуассоновская» алгебра задается компонентами углового момента$L_i$, которые также являются сохраняющимися зарядами.