Почему массы, связанные струной, имеют одинаковое ускорение?

Мы знаем, что напряжение весной$2$определяется его удлинением, которое не меняется сразу после пружины$1$вырезано. Так напряжение весной$2$сразу после весны$1$вырезано$Mg$- что также означает, что мгновенное ускорение нижней массы равно нулю.

Если предположить, что натяжение нити равно$T$тогда чистая направленная вниз сила, действующая на центральную массу, равна$Mg + 2Mg - T$так что у нас есть

$3Mg - T = 2Ma_2$

где$a_2$есть направленное вниз ускорение центральной массы. Аналогично, для верхней массы имеем

$T + Mg = Ma_1$

где$a_1$есть направленное вниз ускорение центральной массы.

Устранение$T$из этих двух уравнений дает нам

$4Mg = Ma_2 + 2Ma_2 \\ \Rightarrow a_1 + 2a_2 = 4g$

Но если бы струна была слабой, мы бы$a_1=g$, так$a_2=\frac 3 2 g$и так$a_2 > a_1$- что невозможно, если струна натянута. Таким образом, мы можем предположить, что струна не провисла, а это означает, что

$\displaystyle a_1=a_2= \frac 4 3 g$

Обратите внимание, что ускорение центра масс всех трех масс представляет собой взвешенную сумму их индивидуальных ускорений, которая равна

$\displaystyle \frac 1 {4M} \left( M \frac {4g} 3 + 2M \frac {4g} 3 + M.0 \right) = g$

как мы ожидаем.

Перед разрезанием верхней пружины натяжение нижней пружины и струны равно$Mg$и$3Mg$соответственно. Мы можем показать это, рассмотрев равновесие двух нижних масс.

Когда дело доходит до рассмотрения ускорений, когда верхняя пружина перерезана, я счел поучительным подумать о том, что произошло бы, если бы струна была на самом деле другой пружиной. Это не изменит натяжения до того, как верхняя пружина будет срезана. В тот момент, когда она была разрезана, натяжение не изменилось бы, потому что средней пружине (той, что заменила струну) нужно было бы сжаться на конечную величину, чтобы изменить ее натяжение, а она не могла бы этого сделать без двух верхних масс. изменение их относительного положения, чего они не могут сделать мгновенно. Таким образом, ускорение верхней массы сразу после разрезания верхней пружины будет равно$4g$а средняя масса будет равна нулю.

Альтернативный подход (во избежание путаницы с гравитацией) состоит в том, чтобы использовать принцип эквивалентности относительности и предположить, что сразу после разреза все находится в космическом пространстве без гравитации.

Нижняя масса находится под действием направленной вверх силы$mg$из-за отклонения пружины и ускорения$\frac{mg}{m} = g$.

Такую же силу пружина прикладывает к средней массе.

Теперь есть раздвоение:

1. Если взять струну только как связующее, не имеющее упругого свойства, только движение средней массы может сдвинуть верхнюю. Они образуют одну уникальную массу$3m$вместе. Итак, оба будут иметь нисходящее ускорение: $$a = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3}$$

Если теперь вернуться к гравитационному окружению, то необходимо добавить$g$вниз к обоим ускорениям.

Нижняя масса:$a_b = 0$Средняя и верхняя масса:$a_m = a_u = \frac{4g}{3}$

2. Если это настоящая струна, она по-прежнему упруго деформируется сразу после разреза (независимо от того, насколько мала деформация), и существует результирующая сила, направленная вниз.$F = 3mg$в верхней массе, а ускорение$a_u = \frac{3mg}{m} = 3g$

Средняя масса имеет чистую направленную вверх силу$3mg - mg = 2mg$и ускорение$a_m = \frac{2mg}{2m} = g$

Нижняя масса имеет чистую направленную вверх силу$mg$и и ускорение$a_b = \frac{mg}{m} = g$

Возвращаясь к гравитационному полю и добавляя$g$вниз:

$a_u = 4g$
$a_m = 0$
$a_b = 0$

Я считаю, что единственная причина поставить name string вместо spring — это воспринимать его только как связующее средство, поэтому$(1)$кажется правильным ответом.