Падающая цепь, закрепленная на одном конце: усилие на шарнире

Эта проблема уже решалась ранее в Physics SE, например:

Может ли кто-нибудь объяснить это решение для движения падающей цепи?
Энергия падающей цепи

Комплексное решение дано в Falling Chains in American Physics Teacher.

Первая ссылка выше включает поучительное обсуждение и решение проблемы из учебника Marion & Thornton. Заманчиво предположить, что свободная сторона цепи находится в свободном падении, но это неверно. Вместо этого следует предположить, что энергия сохраняется, потому что именно так ведут себя реальные цепи.

Ваш подход действителен. Реакция$R$в шарнире связано с ускорением$\ddot y$центра масс по второму закону Ньютона:$Mg-R=M\ddot y$. В чем вы не уверены, так это в том, как найти$\ddot y$.

Ваш расчет положения ЦМ всей цепи верен:
$y=\frac{1}{4l}(l^2+2lx-x^2)$.
Двукратное дифференцирование дает:
$\ddot y=\frac{1}{2l}((l-x)\ddot x-\dot x^2)$

Выражения для$\ddot x$и$\dot x^2$можно найти из закона сохранения энергии следующим образом:

В любой момент движется только правая сторона цепи. Длина этой стороны$\frac12(l-x)$а ЦМ имеет скорость$\dot x$, поэтому его KE$\frac14\rho (l-x)\dot x^2$. Полученный КЭ равен потере РЕ из-за падения ЦМ всей цепочки. CM изначально находится в$y=\frac14 l=\frac{1}{4l}l^2$, так что потери в PE равны
$l\rho g \frac{1}{4l}(l^2+2lx-x^2-l^2)=\frac14 \rho g (2lx-x^2)$.
Поэтому
$\dot x^2 = g \frac{2lx-x^2}{l-x}$.
Дифференциация:
$\ddot x= \frac{g(2l^2-2lx+x^2)}{2(l-x)^2}$

Заменять :
$\ddot y=\frac{g(2l^2-6lx+3x^2)}{4l(l-x)}$
$R=M(g-\ddot y)=Mg\frac{2l^2+2lx-3x^2}{4l(l-x)}$.

Замена$x=\frac14l$дает$R=\frac34Mg$. Но заметьте, как$x \to l$затем$R \to \infty$. Это происходит из-за эффекта хлыста .

Я попытался определить положение центра масс цепи сверху после того, как конец B упал на расстояние$x$с потолка. Затем я использовал принцип сохранения энергии, чтобы найти скорость висящей части, когда она упала на расстояние$x$, приравнивая изменение потенциальной энергии гравитации к изменению кинетической энергии.

Это кажется мне правильным. Предполагая, что горизонтальной длиной системы можно пренебречь, это должно быть довольно просто. Вы должны помнить, что масса движущейся части также меняется, так как часть цепи, направленная вверх, становится меньше.

Это дает вам скорость конца цепи как функцию$x$.

Однако я не могу понять соотношение между силой на шарнире и скоростью висящей части.

Сумма сил, действующих на любую систему, дает ускорение центра масс системы. Силами, действующими на цепь, являются сила тяжести и сила на шарнире. Таким образом, их сумма дает вам ускорение центра масс цепи.

Итак, теперь вы знаете

• скорость конца веревки,$\frac{d}{dt}x$, как функция$x$
• положение центра масс (назовем его$z$) как функция$x$
• усилие на шарнире с точки зрения$\frac{d^2}{dt^2} z$.

Чтобы получить ответ, вы хотите найти$\frac{d^2}{dt^2} z$с точки зрения$x$. Ты знаешь$z$с точки зрения$x$, и$\frac{d}{dt} x$с точки зрения$x$. Я оставлю вас, чтобы выяснить, как продолжить с этого.