Почему метрика FLRW предполагает постоянную кривизну?

Определение 1. Пространство-время называется пространственно - однородным , если существует однопараметрическое семейство пространственноподобных гиперповерхностей$\Sigma_t$расслоение пространства-времени так, что для каждого$t$и для любых точек$p,q\in\Sigma_t$существует изометрия пространственно-временной метрики$g$который занимает$p$к$q$.

Определение 2. Пространство-время называется изотропным , если в каждой точке имеется конгруэнция времениподобных кривых, касательные которых обозначены$u$, удовлетворяющий: для любой точки p и двух единичных пространственноподобных векторов в$T_pM$, есть изометрия$g$что оставляет$p$и$u$фиксируется, но поворачивает один из этих пространственноподобных векторов в другой.

Ограничивать$g$к римановой метрике$h$на$\Sigma_t$. Геометрия каждого «листа» слоения должна наследовать однородность и изотропность.

Позволять${}^{(3)}\operatorname{Riem}$— тензор Римана на$\Sigma_t$,$R_\Sigma$— скалярная кривизна и$T$быть тензорным полем

$$T(X,Y)Z=6\left[h(Z,Y)X-h(Z,X)Y\right]$$ для векторных полей $X,Y,Z$.

Теорема. Однородность и изотропность$\Sigma_t$ $\Leftrightarrow$ ${}^{(3)}\operatorname{Riem}=R_\Sigma T$,$R_\Sigma=\text{const.}$

Доказательство. Построить тензор Римана$\Sigma_t$с использованием$h$. Можно рассматривать это как эндоморфизм$L$пространства$2$-формы$W$. В силу свойств симметрии тензора Римана$L$симметричен, и по теореме линейной алгебры$W$имеет ортонормированный базис собственных векторов$L$. Если бы собственные значения были различны, можно было бы выбрать предпочтительное$2$- форма на$\Sigma_t$. Использование звезды Ходжа на$\Sigma_t$, затем можно было бы построить предпочтительный вектор. Поскольку это нарушило бы изотропию, собственные значения должны быть равны. Мы называем это значение$K$:

$$L=K\operatorname{id}_W$$ Другими словами, $${}^{(3)}R_{ab}{}^{cd}=K\delta^c{}_{[a}\delta^d{}_{b]}$$ где ${}^{(3)}R_{ab}{}^{cd}$являются компонентами ${}^{(3)}\operatorname{Riem}$. Заключение всего надлежащим образом дает $$R_\Sigma=3K$$ Однородность автоматически исправляет $K$быть константой. $\quad\Box$

Это доказательство очень точно следует тому, которое дано в Wald, RM 1984, General Relativity (Chicago University Press).

Радиус кривизны стандартной метрики FLRW меняется со временем.

Радиус кривизны, RoC, равен a(t)/k^(1/2), который изменяется во времени.

k равно 1/RoC^2 для a(t), равного 1.

Коэффициент 1/(1-k R^2) можно рассматривать как полученный из производной функции ARCSIN(a(t)R/RoC) из приведенной ниже метрики. R — это R в полном масштабе, a(t)R. k — это полная величина, обратная квадрату RoC, полное значение с a(t). Два a(t) отменяются.

Эквивалентная формулировка метрики FLRW с использованием углов w, u и v с использованием w вместо R:

ds^2 = -c^2 dt^2 + RoC(t)^2 (dw^2 + sin(w)^2 (du^2 + sin(u)^2 dv^2))

Обычный a(t)R равен RoC(t)sin(w) в этой метрике.

Для a(t), равного 1 в текущей Вселенной, и R и RoC, равных предполагаемому радиусу сопутствующего движения наблюдаемой Вселенной, k будет очень маленьким.

Метрика FLRW начинается с «предположения об однородности и изотропии пространства» . Но Эйнштейн описал гравитационное поле как пространство, которое «ни однородно, ни изотропно» :

Следовательно, если оставить в стороне расширение, для Вселенной в целом нет общего гравитационного поля, и свет идет прямо. Из-за этого мы говорим, что Вселенная плоская, согласно выводам WMAP.

Нет причин принимать постоянный член кривизны$k$. Предположение о постоянном члене кривизны является неправильным предположением. И давайте смотреть правде в глаза, две из трех «форм вселенной» всегда были неправильными:

_{Изображение из общественного достояния предоставлено НАСА.}

ИМХО вселенная плоская, она была плоской и миллиард лет назад, и миллиард лет до этого. Он всегда был плоским и всегда будет.