Как первое уравнение Фридмана выводится из уравнений поля Эйнштейна?

Я вижу, что первое уравнение Фридмана (для плоского пространства):

( а ˙ а ) 2 "=" 8 π г 3 р .
И я знаю, что уравнение Эйнштейна, просто учитывая компонент время-время, выглядит так:
р 00 − 1 2 г 00 р "=" 8 π г Т 00 .
И я знаю, что Т 00 в тензоре р , поэтому получаем:
р 00 − 1 2 г 00 р "=" 8 π г р .
Может ли кто-нибудь заполнить недостающие шаги? Как мы приходим к:
р 00 − 1 2 г 00 р "=" 3 ( а ˙ а ) 2   ?

Я так и не нашел решения, заполняющего пропущенные шаги. В лучшем случае учебники (а у меня их не менее пяти) оставляют это как упражнение. Я дал полный вывод уравнения Фридмана в моей третьей книге для случая с искривленным пространством и космологической постоянной, но это занимает шесть страниц вычислений, поэтому я не могу дать здесь ответ.
@CharlesFrancis - Вы доступны для разговора в баре?

Ответы (2)

Это типичный пример, когда вывод Ньютона намного проще и быстрее и дает тот же ответ. Которые вы без труда найдете в сети.

Но если вы хотите сделать это изнутри ОТО, то вам придется работать с записью тензора Риччи р 00 , скаляр Риччи р , и запись метрики г 00 :

  • г 00 "=" 1 ;

  • р 00 :

    р 00 "=" р т м т м "=" р р т р р + р т θ т θ + р т ф т ф "=" − 3 а ¨ а ,
    где каждый тензор Римана зависит от символов Кристоффеля (перечисленных, например, в разделе C здесь);

  • р :

    р "=" г я к р я к "=" − 6 а ¨ а − 6 ( а ˙ а ) 2 − 6 1 к 2 а 2 ,
    где к − 2 "=" 0 для плоского пространства.

Итак, собираем все вместе:

р 00 − 1 2 р г 00 "=" − 3 а ¨ а + 3 а ¨ а + 3 ( а ˙ а ) 2 .

Следовательно:

3 ( а ˙ а ) 2 "=" 8 π г р ,
⇒ ( а ˙ а ) 2 "=" 8 π г 3 р .

Стоит отметить, что RHS следует из тензора энергии напряжений идеальной жидкости.
Ах да, хорошо указать на это предположение.
Которые вы без труда найдете в сети. Я понятия не имею даже, какие условия поиска я бы использовал. Есть ли шанс найти и кинуть ссылку? Было бы познавательно посмотреть, как это делается с ньютоновской физикой.
Под «легко» я имел в виду, что это производное, которое вы обычно найдете. Меньше источников делают настоящую GR. Большинство конспектов университетских лекций всегда носят классический характер.
@SuperCiocia - Вы понимаете это происхождение? Я не могу прочитать почерк и пытаюсь расшифровать шаг, на котором постоянная интегрирования превращается в член кривизны. То есть, как 8 π г 3 р р 2 + А и Б "=" А ( г р ) 2 становиться к с 2 а 2 в версии ГР.
@GluonSoup Б "=" А ( а / р ) 2 но я согласен, что они немного бесцеремонны с математикой, потому что, по сути, они знают, что у них должно получиться. Может быть, посмотрите на экв. 25 здесь , который также получен из ньютоновской механики. Может быть, это более понятно.
И что такое р в этой части вообще? Разве радиус кривизны (также р ) пробиться в уравнение к этому времени?
р радиус сферы, планеты или звезды. У вас не будет кривизны термина к здесь, так как вы в классической механике. Но они получают это Б срок. И пишут, что по параметру плотности Ом 0 который также появляется в GR. Есть Ом 0 связано с космологической постоянной (константой), с плотностью излучения ( ∝ а − 4 ), с темной+барионной материей ( ∝ а − 3 ), и с «пространственной плотностью кривизны», которая выглядит как ∝ а − 2 . Так что здесь они "deus ex machina" и связывают это с искривлением, потому что это ∝ а − 2 .

Г а б с "=" 1 2 г с д ( г а д , б + г б д , а − г а б , д )

р а б "=" ∂ с Г а б с − ∂ а Г б с с + Г а б с Г с е е − Г а д с Г б с д

Таким образом, по заданной метрике можно вычислить любой символ Кристоффеля, а по любому символу Кристоффеля можно вычислить тензор Риччи. Просто поверните рукоятку и вычислите р 00 и р

Как первое уравнение Фридмана выводится из уравнений поля Эйнштейна?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v