Может ли гиперболическое пространство быть ограниченным?

Question

Может ли гиперболическое пространство быть ограниченным?

мимок

Существует множество визуализаций гиперболической геометрии с использованием дисков Пуанкаре.

Какова их цель?
Может ли гиперболическое пространство быть ограниченным?
Можем ли мы наделить диск структурой, описываемой метрикой FLRW?
Имеет ли она постоянную кривизну?
Может ли наша Вселенная быть ограниченной, но все же бесконечной, как эта?

ДжамалС

Я не думаю, что это «удовлетворяет ли диск Пуанкаре метрике FLRW?» Скорее я бы сказал, можем ли мы наделить диск структурой, описываемой метрикой FLRW?

ДжамалС

Ах да, диски Пуанкаре имеют постоянную кривизну; в общем это

d (d - 1)

$d(d-1)$ .

Ответы (2)

Может ли гиперболическое пространство быть ограниченным?

Я не думаю, что это «удовлетворяет ли диск Пуанкаре метрике FLRW?» Скорее я бы сказал, можем ли мы наделить диск структурой, описываемой метрикой FLRW?
Ах да, диски Пуанкаре имеют постоянную кривизну; в общем это $d(d-1)$ .

Селена Рутли · Answer 1

Какова их цель?

«Цели» гиперболических геометрий многочисленны и разнообразны в математике, но одна из них выделяется далеко за пределы всех других, по крайней мере, исторически как цель . Гиперболические геометрии были построены, чтобы доказать, что постулат параллельности Евклида (см. Вики-страницу «Постулат параллельности») логически независим от других аксиом геометрии Евклида. До Яноша Бойяи и Николая Лобачевскогообнаружил конкретные примеры геометрий, которые выполняли все другие постулаты Евклида, но не постулат параллельности в 1820-х годах, было много заметных предполагаемых (но позже показанных как ошибочных) «доказательств» постулата параллельности из других постулатов Евклида (они обсуждаются на страницу Вики). Но конкретная демонстрация геометрии, удовлетворяющей другим аксиомам, но в которой постулат параллельности не имеет решающего значения, показала, что она не может быть выведена только из других аксиом: в противном случае она находилась бы в логическом противоречии с представленными конкретными моделями (см. «Теория моделей» . Wiki) , которую обнаружили Бойяи и Лобачевский.

Другая, вероятно, основная современная цель (помимо изучения гиперболической геометрии как таковой) — локальное приближение к геометрии общего многообразия в окрестности, где кривизну можно считать приблизительно постоянной и отрицательной. Это «один шаг вверх» от евклидовой / минковской (подписанной плоской) локальной аппроксимации многообразия, заданного касательным пространством. Если хотите, гиперболическая геометрия (и в дальнейшем под этими словами я подразумеваю гиперболическую геометрию постоянной кривизны) подобна приближению Тейлора к поверхности второго порядка (в области отрицательной кривизны), где касательное пространство является приближением Тейлора первого порядка. Например, в двух измерениях гиперболическая геометрия является хорошим приближением к геометрии поверхности в окрестности седловой точки.

Может ли гиперболическое пространство быть ограниченным?

Действительно гиперболическое пространство постоянной кривизны не может быть компактным в топологии, которая делает его гиперболическим: возьмите модель диска Пуанкаре и убедитесь, что для любого расстояния $d_0$ , как бы ни было велико, всегда есть точки $u,\,v$ для которых глобальное минимальное расстояние между ними больше. Брать $u$ находиться в центре диска Пуанкаре и $v$ быть точкой, заданной $y=z=0$ и $x = \sqrt{\frac{\cosh(d_0+\epsilon)-1}{\cosh(d_0+\epsilon)+1}}$ , где $\epsilon>0$ например. Однако локально гиперболические многообразия, безусловно, могут быть компактными: интуитивно это очевидно, если надуть воздушный шар и ткнуть в его поверхность двумя пальцами, чтобы получились две вогнутые ямки. Седловая область между ямками локально гиперболична, но глобальное многообразие диффеоморфно компактной 2-сфере.

Однако вы, кажется, думаете о чем-то несколько отличном от моего абзаца выше, то есть о том, что диск Пуанкаре гомеоморфен ограниченному, но открытому, т.е. некомпактному подпространству евклидова пространства: давайте придержим эту мысль, пока я не отвечу на ваш последний вопрос.

Можем ли мы наделить диск структурой, описываемой метрикой FLRW?

Да, ты можешь. Диск Пуанкаре моделирует гиперболическое пространство постоянной отрицательной кривизны, поэтому метрику FLRW можно рассматривать как своего рода расширение диска Пуанкаре функцией масштабного коэффициента FLRW. $a(t)$ . Посмотрите мои расчеты в конце моего ответа, чтобы увидеть это более четко.

Может ли наша Вселенная быть ограниченной, но все же бесконечной, как эта?

Как и в ответе Доэто, нелинейное преобразование отображает постоянную отрицательную кривизну FLRW в «конечное» множество - конечное в окружающем евклидовом пространстве. Но расстояние Минковского — это то, что измерило бы существо, принадлежащее этой вселенной и живущее в ней. Это единственная «физическая» функция расстояния в этой вселенной, и такая вселенная всегда содержит точки, произвольно удаленные друг от друга. Так что если вы считаете такую структуру ограниченной, то ответ «да», но это полностью искусственная конструкция и не имеет ничего общего с физикой. Вы всегда можете найти нелинейное преобразование для преобразования бесконечных областей в открытые, ограниченные. Это похоже на отображение всех времен — неограниченная реальная линия $\mathbb{R}$ на конечный интервал преобразованием $\tau:\mathbb{R}\to(-1,\,1);\,\tau(x) = \tanh(x)$ .

Вам может быть полезно понять, что диск Пуанкаре является биективной («сохраняющей информацию» или «обратимой») и изометрической («сохраняющей длину и угол») стереографической проекцией (см. раздел «Связь с гиперболоидной моделью» на Wiki-страница диска Пуанкаре) ) гиперболоида, неограниченного геометрического объекта.

Связь с метрикой FLRW

Чтобы увидеть, как диск Пуанкаре вписывается в метрику FLRW с полярными координатами уменьшенной окружности для метрики FLRW , начнем с:

\begin{matrix} (1) & д Σ^{2} "=" \frac{д р^{2}}{1 - к р^{2}} + р^{2} д {Ом}^{2}, где д {Ом}^{2} "=" д θ^{2} + {грех}^{2} θ д ф^{2} \end{matrix}

$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \frac{\mathrm{d}r^2}{1-k r^2} + r^2 \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2, \quad \text{where } \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2\tag{1}$

как на странице Вики. Ровно как и для метрики Шварцшильда , здесь $r = const$ параметризует гиперсферу с центром в начале координат так, что длина геодезической вокруг гиперсферы равна $2\,\pi\,r$ . $r$ не соответствует длине геодезической, соединяющей точку на гиперсфере и начало координат, за исключением случаев, когда кривизна $k$ ничто.

В терминах окружающих евклидовых координат $(x,\,y,\,z)$ для точек на диске Пуанкаре имеем:

\begin{matrix} (2) & д Σ_{п}^{2} "=" 4 \frac{д {Икс}^{2} + д у^{2} + д г^{2}}{(1 - р^{2})^{2}} \end{matrix}

$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}_P^2 = 4\,\frac{\mathrm{d}\,x^2+\mathrm{d}\,y^2+\mathrm{d}\,z^2}{(1-R^2)^2}\tag{2}$

где $R=x^2+y^2+z^2$ ; обращайте внимание на разницу между маленькими $r$ и большой $R$ . $R$ - полярная радиальная координата в окружающем евклидовом пространстве и $\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}_P^2$ — линейный элемент на диске Пуанкаре. Следовательно, длина большого круга на диске Пуанкаре равна:

\begin{matrix} (3) & С (р) "=" \int_{0}^{2 π} 2 \frac{р}{1 - р^{2}} д θ "=" 4 π \frac{р}{1 - р^{2}} "=" 2 π р \end{matrix}

$C(R)=\int_0^{2\,\pi}\, 2\,\frac{R}{1-R^2}\,\mathrm{d}\,\theta = 4\,\pi\,\frac{R}{1-R^2} = 2\,\pi\,r\tag{3}$

последний шаг, вытекающий из определения приведенного радиуса окружности, и так:

\begin{matrix} (4) & р "=" \frac{2 р}{1 - р^{2}} \end{matrix}

$r = \frac{2\,R}{1-R^2}\tag{4}$

и так:

\begin{matrix} (5) & д р^{2} "=" \frac{4 (1 + р^{2})^{2}}{(1 - р^{2})^{4}} д р^{2} \end{matrix}

$\mathrm{d}r^2 = \frac{4\,(1+R^2)^2}{(1-R^2)^4}\,\mathrm{d}R^2\tag{5}$

Подставив (4) и (5) в (1), но теперь ( i ) полагая $\phi$ обозначают азимутальную координату на плоскости, в которой лежит касательный вектор, вдоль которого мы измеряем линейный элемент (т. е. без ограничения общности мы думаем, что наш касательный вектор лежит в соответствующей экваториальной плоскости) и ( ii ) устанавливаем постоянную кривизну равной быть $k=-1$ мы нашли:

\begin{matrix} (6) & \begin{array}{lcl} д Σ^{2} & "=" & \frac{\frac{4 (1 + р^{2})^{2}}{(1 - р^{2})^{4}}}{1 - к {(\frac{2 р}{1 - р^{2}})}^{2}} д р^{2} + \frac{4 р^{2}}{(1 - р^{2})^{2}} д {Ом}^{2} \\ "=" & \frac{4}{(1 - р^{2})^{2}} (д р^{2} + р^{2} д ф^{2}) \\ "=" & 4 \frac{д {Икс}^{2} + д у^{2} + д г^{2}}{(1 - р^{2})^{2}} \\ "=" & д Σ_{п}^{2} \end{array} \end{matrix}

$\begin{array}{lcl}\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 &=& \frac{\frac{4\,(1+R^2)^2}{(1-R^2)^4}}{1-k\,\left(\frac{2\,R}{1-R^2}\right)^2}\,\mathrm{d}R^2 + \frac{4\,R^2}{(1-R^2)^2}\,\mathrm{d}\Omega^2\\&=&\frac{4}{(1-R^2)^2}\left(\mathrm{d}R^2+R^2\,\mathrm{d}\,\phi^2\right)\\&=&4\frac{\mathrm{d}\,x^2+\mathrm{d}\,y^2+\mathrm{d}\,z^2}{(1-R^2)^2}\\&=&\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}_P^2\end{array}\tag{6}$

т. е. равен линейному элементу, измеренному на диске Пуанкаре.

доэто · Answer 2

Цель любой модели гиперболической плоскости состоит в том, чтобы с некоторыми ее аспектами было легко работать вычислительно или интуитивно, например, выписывая определенные изометрии, идентифицируя геодезические, вычисляя объемы и т. д.
Гиперболическое пространство неограниченно, гиперболическое многообразие может быть ограничено.
Я не знаю
Да
Если вы не используете термины «ограниченный» и «бесконечный» как взаимоисключающие по определению, вы используете нестандартную терминологию. Возможно, у вас сложилось впечатление, что гиперболическая плоскость в модели диска Пуанкаре ограничена, но это не так. Было бы так, если бы мы использовали евклидову метрику, но тогда это была бы уже не гиперболическая плоскость.

Ну, я не использую терминологию. Очевидно, круг Пуанкаре определен на |x|<1, поэтому он ограничен. По стандартному определению оно конечно. Однако, если вы сойдетесь к границе, вам придется делать бесконечные шаги, поэтому, по моему интуитивному определению, она бесконечна. Кажется, я нахожу самоопределяющим и самодоказывающим определение того, что что-то ограничено ограниченным множеством. Конечно, тогда возникает проблема, что мы всегда можем создать «внеземное» «космическое пространство», и с этого момента наше пространство может быть каким угодно. Или мы можем?
(Кстати, обычно бесконечный означает, что он имеет бесконечное количество точек, поэтому в этом смысле они, очевидно, не исключают друг друга.) Диск Пуанкаре — это модель гиперболической плоскости на множестве, которое оказывается ограниченным в евклидовой метрике. , но он наделен другой метрикой. С этой метрикой она неограничена, и только эта метрика имеет смысл для круга Пуанкаре. В примере Роба интервал $(-1,1)$ сделан изометрическим $\Bbb R$ сквозь $\tanh$ функционировать, но это не делает $\Bbb R$ ограниченный.

Может ли гиперболическое пространство быть ограниченным?

мимок

ДжамалС

ДжамалС

Ответы (2)

Селена Рутли

Связь с метрикой FLRW

доэто

мимок

доэто

Действительно ли мы определили положительную кривизну Вселенной в 2019 году?

Как вселенная может быть пространственно плоской в среднем, если все формы энергии имеют положительную пространственную кривизну?

Объем Вселенной с k=+1k=+1k=+1

Какова кривизна пустой вселенной?

Нецелое значение kkk в модели Фридмана-Робертсона-Уокера?

Почему Вселенная пространственно плоская, хотя различные плотности энергии отличны от нуля?

Почему плоская вселенная подразумевает бесконечную вселенную?

Каков возраст Вселенной с положительной, отрицательной и нулевой кривизной?

Как первое уравнение Фридмана выводится из уравнений поля Эйнштейна?

Почему метрика FLRW предполагает постоянную кривизну?