Почему мощность ракетного двигателя увеличивается с увеличением скорости ракеты? [дубликат]

Повышенная мощность обусловлена ​​тем, что топливо движется вместе с ракетой.

То есть, предположим, что скорость истечения$w$а текущая скорость ракеты$v$. Когда ракета находится в состоянии покоя, горит небольшая масса$m$топлива высвобождает энергию$mw^2/2$. Когда ракета движется очень быстро, поэтому$v \gg w$, количество кинетической энергии, которое это топливо будет иметь до сгорания, равно$mv^2/2$, что намного больше энергии, выделяемой при его сжигании! Таким образом, увеличение выходной мощности происходит за счет использования существующей кинетической энергии самого топлива.

Конечно, эта кинетическая энергия не взялась ниоткуда. Она была заложена сжиганием более раннего топлива, так что все проверяется, и вы не получаете энергию бесплатно.

Однако этот ответ неверен, поскольку скорость ракеты превышает скорость выхлопа, и как ракета, так и выхлоп движутся вперед относительно наблюдателя. Теперь, когда ракета ускоряется вперед, выхлоп тоже ускоряется, поэтому мощность для ускорения обоих снова увеличивается.

Выхлоп не ускоряется вперед. Выхлоп может двигаться вперед (относительно наблюдателя), но не ускоряется вперед.

Рассмотрим случай, когда уже наблюдается, что ракета движется вперед быстрее, чем скорость выхлопа. Масса, которая станет выхлопом, движется со скоростью$v_e + x$, где оба$v_e$и$x$являются положительными. После реакции выхлопная масса движется вперед со скоростью$x$. Вместо того, чтобы ускориться вперед, он замедлился. Скорость теперь меньше, и кинетическая энергия массы уменьшилась. Это изменение КЭ должно быть уравновешено увеличением энергии в другом месте. В данном случае это позволяет увеличить КЭ ракеты.

Ваш аргумент про выхлоп правильный и он не подводит. Даже если и выхлоп, и ракета движутся в одном и том же направлении относительно вас, сила, действующая на выхлоп, противоположна направлению движения выхлопа. Таким образом, будучи отрицательным, эффект силы заключается в замедлении выхлопа.
Представьте, что вместо топлива у вас к стенке ракеты прикреплено множество пружин, которые выталкивают из ракеты маленькие камешки. Сила пружины как на ракете, так и на камешке остается одинаковой вне зависимости от скорости ракеты, а значит, и суммарная мощность выделяемой (заранее запасенной) потенциальной энергии, но мощность на ракете увеличивается положительно со скоростью, а отрицательная мощность на гальке становится все больше негатива.

ПРИМЕЧАНИЯ

1) И работа, и мощность не являются инвариантами, они зависят от системы отсчета.

2) В системе отсчета, в которой движется ракета, сила на камешках отрицательна, они начинаются со скоростью ракеты и заканчивают с меньшей скоростью. Мощность — это не вектор, а скаляр, но она становится отрицательной, если сила и перемещение имеют противоположные направления.

3) Камешки действительно передают энергию ракете, когда они замедляются.

$EK_i^{pebble}+EK_i^{rocket}+EP^{spring}=EK_f^{pebble}+EK_f^{rocket}$

Я думаю, что проблемы связаны с используемым вами определением «мощности». Как это определено, это, похоже, не указывает фактическую энергию в единицу времени, которую дает сжигание топлива. Вместо этого я попытаюсь вычислить энергию, которую топливо ДЕЙСТВИТЕЛЬНО должно передать ракете, и мы увидим, что все сходится. Для этого я помещу себя в «стационарную» систему отсчета и вычислю разницу в KE в$t$и$t+dt$вычислить мгновенную мощность.

Скорости, выровненные с ракетой, будут положительными (читай: скорость ракеты выровнена по оси z).

Вовремя$t$, скорость ракеты$v$, его масса$M+m$.

Вовремя$t+dt$, скорость ракеты$v+dv$, его масса$M+m-dm$и некоторое количество топлива было выброшено со скоростью$-u$по отношению к ракете. Итак, топливо имеет скорость$-u+v$относительно стационарной системы отсчета (это верно для первого порядка, мы могли бы выбрать$-u+v+dv$и все равно получил тот же результат для первого порядка).

Запись сохранения импульса между$t$и$t+dt$:

$$dp = (M+m-dm)(v+dv)+(v-u)dm - (M+m)v = (M+m)dv-udm +O(dm\times dv) = 0$$

Таким образом$\frac{dv}{dt} = \frac{u \phi}{M+m}$где$\phi = \frac{dm}{dt}$. Мы действительно получаем постоянное ускорение при условии, что эффективное сжигание топлива пренебрежимо мало ($m = cst$) и поток вещества постоянен$\frac{dm}{dt}$.

Теперь давайте посмотрим на выигрыш энергии системы между$t$и$t+dt$. Это энергия, которая должна быть обеспечена сжиганием топлива. Мы будем использовать уравнение$dv = \frac{udm}{(M+m)}$которые мы вывели ранее. Снова мы сохраняем только первый порядок, поскольку$dv$и$dm$бесконечно малы.

$$dK = \frac{1}{2}(M+m-dm)(v^2+2dv)+\frac{1}{2}dm(v-u)^2-\frac{1}{2}(M+m)v^2 = (M+m)dv-vudm+\frac{1}{2}dm u^2 = \frac{1}{2}dm u^2$$

Где последнее уравнение следует из закона сохранения импульса. Если «поделить» на$dt$, мы наконец получаем это

$$\frac{dK}{dt} = P_{inst} = \frac{1}{2}\phi u^2$$

Так что кажется, что проблемы нет вообще. Действительно, мгновенная мощность, обеспечиваемая топливом, всегда одинакова. Энергия, вводимая в ракету, кажется всегда постоянной, как и ожидалось.

Теперь к вопросу. Сила, которую вы используете, имеет следующее определение:$P = \frac{F\cdot d}{t}$. Насколько я понимаю, здесь$d$- полное расстояние, на котором сила действовала на ракету. Однако вы пишете$\frac{d}{t} = v$где v — мгновенная скорость. Как я понимаю,$\frac{d}{t} = v_{mean}$это средняя скорость, так что это совершенно другая величина.

Еще одна вещь, на которую следует обратить внимание, это то, что, хотя ускорение ракеты постоянно, сила, действующая на нее, кажется, не такова. Действительно, используя второй закон Ньютона:

$$dp_{rocket} = (M+m-dm)(v+dv)-(M+m)v = -vdm +(M+m)dv= -vdm +udm = (u-v)dm$$

Итак, деление на dt:$F_{rocket} = (u-v)\phi$. Фактическая сила, действующая на ракету, кажется, уменьшается по мере ускорения ракеты. Это кажется немного нелогичным, но это понятно: когда вы выбрасываете немного топлива, происходят два эффекта: вы теряете часть импульса, потому что теряете часть массы, вы получаете некоторый импульс, потому что топливо «толкало вас». Эти два эффекта уравновешиваются таким образом, что ускорение постоянно и пропорционально$u\phi$.

Однако фактическая сила, действующая на ракету, непостоянна и, по-видимому, становится «тянущей» силой, когда скорость ракеты превышает$u$. Это связано с тем, что потерянный импульс от выпущенной массы намного больше, чем полученный импульс от толчка при высоких скоростях ракеты.

Поняв, что сила на самом деле непостоянна, я начинаю понимать, почему определение$P = F\cdot v$привести к некоторым неожиданным результатам. Кроме того, я не уверен, насколько правильно это определение, если вы начнете с$P = F\cdot d/t$. Действительно, насколько я понимаю, здесь d — это полное пройденное расстояние, поэтому у нас нет$d/t = v$как ракета разгоняется. Однако мне все еще трудно понять правильность этого определения в целом, поэтому я могу ошибаться.

Дайте мне знать, если этот ответ удовлетворяет или нет.

Вы правы, что постоянная сила$F$применяется к объекту массы$m$будет генерировать увеличивающееся количество энергии по мере ускорения объекта. Эта дополнительная сила не «исходит» ниоткуда физически; скорее, это происходит из-за того, как определяется кинетическая энергия. В частности, это возможно благодаря тому факту, что кинетическая энергия растет быстрее, чем скорость с увеличением скорости.

Кинетическая энергия объекта$K$определено:

$$K=\frac{1}{2}mv^2$$

Мощность – это скорость выполнения работы. Теорема о работе-энергии гласит, что количество работы, выполненной над объектом, равно изменению кинетической энергии объекта, поэтому мощность, переданная ракете, равна скорости изменения$K$. Подключение$v=\frac{F}{m}t$(от классич.$F=ma$) для объекта, ускоряющегося из состояния покоя, имеем

$$K = \frac{1}{2}\frac{F^2}{m}t^2$$

Итак, дифференцируя,

$$P = \frac{dK}{dt} = \frac{F^2}{m}t$$

Это означает, что мощность увеличивается с течением времени.