Почему мы не требуем, чтобы высшие производные совпадали на границе при решении уравнения Шредингера в заданном потенциале?

При решении не зависящего от времени уравнения Шредингера для заданного потенциала в 1D основная часть решения связана с согласованием граничных условий. Обычно мы требуем, чтобы значение и первая производная совпадали на границе. Это интуитивно понятно, так как мы хотели бы, чтобы волновая функция имела совпадающее значение и наклон. Однако, почему мы не применяем кривизну и даже высшую производную для соответствия?

На самом деле первая производная не обязана быть непрерывной. Это верно только для особого и нереалистичного случая, когда эффективная масса в обеих областях одинакова. Правильным граничным условием будет 1/м1 dPsi1/dx = 1/м2 dPsi2/dx.

Ответы (3)

Потому что в ODE вам нужно только н условия согласно н -порядок ОДУ, но эти условия могут быть в одной точке, значение функции и производной, или в двух точках, значение функции первая и последняя точка интервала.

Если я правильно интерпретирую ваш вопрос, у вас есть одномерное независимое от времени уравнение S. с В разрывной в некоторых точках. Вы решаете это уравнение для фиксированного собственного значения Е отдельно в каждом интервале непрерывности получение функций ψ Е которые С 2 в каждом открытом интервале и зависит от двух произвольных констант. Наконец, вы вычисляете найденные функции на границах различных интервалов. Вы спрашиваете, почему в особой точке требуется только непрерывность и непрерывность первой производной, а не непрерывность второй производной.

Далее я рассматриваю правильные собственные значения и связанные с ними собственные векторы.

Причина техническая. У вас есть оператор вида

(1) ЧАС "=" − ℏ 2 2 м д 2 д Икс 2 + В ( Икс )
и вы ищете собственные функции Ψ Е , так что
(2) ЧАС ψ Е "=" Е ψ Е .
Как вы, наверное, знаете, оператор ЧАС должен быть самосопряженным, иначе он не имеет гильбертовой базы собственных векторов. С другой стороны, домен оператора, Д ( ЧАС ) , это не все пространство, поэтому ψ Е должен принадлежать этому домену. Дело в том, что операторы вида (1) не являются самосопряженными, если они определены на пространствах дифференцируемых функций. Однако они по существу самосопряжены , т.е. ЧАС † является самосопряженным и ЧАС † истинная наблюдаемая энергия . Итак, физически правильное уравнение Шредингера не (2), а есть
(3) ЧАС † ψ Е "=" Е ψ Е
где ψ Е принадлежит к большей области ЧАС † который, в свою очередь, не является дифференциальным оператором. Используя определение сопряженного оператора, (3) можно эквивалентно записать
⟨ ЧАС ф | ψ Е ⟩ "=" Е ⟨ ф | ψ Е ⟩ ∀ ф е Д ( ЧАС ) .
Явно
(4) ∫ р д 2 ф д Икс 2 ψ Е ( Икс ) д Икс "=" ∫ р 2 м ℏ 2 ( В ( Икс ) − Е ) ф ( Икс ) ψ Е ( Икс ) д Икс ∀ ф е Д ( ЧАС )
Как обычно Д ( ЧАС ) ⊃ С 0 ∞ ( р ) , (4) говорит, что ψ Е допускает вторую слабую производную . На данный момент анализ, основанный на теоремах об эллиптической регулярности Вейля, доказывает, что если ψ Е е л 2 удовлетворяющее (4) существует, оно должно быть С 2 в промежутках, где В является непрерывным и должно быть С 1 по остальным пунктам.

Помимо (физически мотивированного) асимптотического заданного поведения на бесконечности | Икс | → ∞ , мы на самом деле не накладываем/не требуем/не требуем каких-либо условий на волновую функцию ψ за пределами ТИСЭ (понимается в слабом смысле). Непрерывность и (возможно, более высокие) гладкие условия вместо этого выводятся из стандартного аргумента начальной загрузки, подробности см., Например, в моем ответе Phys.SE здесь .

Почему мы не требуем, чтобы высшие производные совпадали на границе при решении уравнения Шредингера в заданном потенциале?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v