Оценка минимальной потенциальной глубины, необходимой для связанных состояний в трехмерной притягивающей потенциальной яме

Но когда вы на самом деле решаете ТИСЭ для $l=0$вы приходите к одномерной задаче для радиальной части с ограничением, что должен быть корень в $r=0$. Если я не ошибаюсь, это дает уравнение, которое дает точную нижнюю границу для $\hbar^2\pi^2/8ma^2$. Это не противоречит вашему утверждению?

Вы имеете в виду предельный случай, когда не существует потенциальной ямы ( $l = 0$)? В этом случае волновая функция все равно ненормируема, поскольку потенциальной ямы не существует. Однако для любого $l > 0$, полную энергию можно сделать сколь угодно близкой к потенциальной, делая экспоненциальные коэффициенты для внешней области настолько близкими к нулю, насколько это необходимо для выполнения условия нормировки. Заметим, что в этом случае неопределенность положения не уменьшается (по крайней мере, ненамного) при уменьшении $l$, как сокращение $l$просто делает туннель с наименьшим энергетическим состоянием больше снаружи.