Почему напряженность электрического поля диполя равна 1/r31/r31/r^3? [дубликат]

Важная физическая интерпретация, которую вы должны иметь в виду, заключается в том, что заряды противоположны, поэтому$1/r$части их потенциалов уравновешиваются. Мы увидим, как это происходит явно в математике в правильном выводе.

Но это также объясняет, почему вашей логики недостаточно, чтобы понять, что происходит: вам действительно нужны эти два противоположных заряда, чтобы компенсировать$1/r$куски. Так что не стоит начинать только с$V = kQ/r$а затем найти приближение для$r$вставив правильный ответ, который вы еще не понимаете. Это не очень полезный способ. Вместо этого вы должны сделать полный вывод самостоятельно.

Прежде всего, я надеюсь, вы видите из геометрии, что

$$\begin{equation} r \approx b + \frac{LM}{2} \approx c - \frac{LM}{2}. \end{equation}$$ Причина в том, что когда вы принимаете $P$очень далеко эти строки $c$, $b$, и $r$все становятся в основном параллельными, и они прижимаются друг к другу. Так $c$, $b$, и $r$просто представьте разные точки вдоль (примерно) одной и той же линии.

Теперь, приняв приведенное выше уравнение, вы можете сразу увидеть, что$LM \approx c-b$. Вы также можете видеть, что

$$\begin{align} r^2 &\approx \left(b + \frac{LM}{2}\right)\left(c -\frac{LM}{2} \right) \\ &\approx bc + (c-b)\frac{LM}{2} - \frac{LM^2}{4} \\ &\approx bc + LM\frac{LM}{2} - \frac{LM^2}{4} \\ &\approx bc + \frac{LM^2}{4} \end{align}$$ Но когда $r \gg a$(и потому что $a \geq LM$), мы знаем это $LM^2/4$должно иметь небольшое влияние на результат, поэтому мы можем просто игнорировать его: $r^2 \approx bc$. Это объясняет два приближения, показанные на вашем рисунке. Но я утверждаю, что этого недостаточно, чтобы на самом деле понять общий потенциал.

Итак, о реальном выводе. Вы согласитесь, что (без какого-либо приближения) полное выражение для потенциала имеет вид

$$\begin{align} V &= \frac{kQ} {b} - \frac{kQ} {c}. \end{align}$$ Обратите внимание на этот решающий знак минус! Далее мы можем начать вставлять наши приближения: $$\begin{align} V &\approx \frac{kQ} {r-LM/2} - \frac{kQ} {r+LM/2} \\ &\approx \frac{kQ} {r-\frac{a\cos\theta}{2}} - \frac{kQ} {r+\frac{a\cos\theta}{2}} \\ &\approx \frac{kQ} {r} \frac{1}{1-\frac{a\cos\theta}{2r}} - \frac{kQ} {r} \frac{1}{1+\frac{a\cos\theta}{2r}} \end{align}$$ В этой последней строке я не сделал ничего особенного; Я просто вытащил знаменатель. Но теперь это позволяет нам использовать приближение $\frac{1}{1 \pm x} \approx 1 \mp x$для маленьких $x$. В этом случае $x$является $a\cos\theta / 2r$, и с тех пор $r \gg a$это мало, поэтому мы можем использовать это приближение: $$\begin{align} V &\approx \frac{kQ} {r} \left(1+\frac{a\cos\theta}{2r}\right) - \frac{kQ} {r} \left(1-\frac{a \cos\theta}{2r}\right) \\ &\approx \frac{kQ} {r} \frac{a\cos\theta}{r} \\ &\approx \frac{kQa\cos\theta} {r^2}. \end{align}$$

Ключевым моментом является то, что$r$(расстояние до центра диполя) не то же самое, что расстояния$b$и$c$от вашего тестового заряда к положительным и отрицательным зарядам диполя.

Если расстояние между диполями не очень велико, то это не имеет большого значения, т.к.$1/r$и$1/b$в целом будут очень похожи, но у них будут небольшие различия, и их легко вычислить как степенной ряд в$a$когда это мало:

$$\frac{1}{b} = \frac1r + \frac{a\cos(\theta)}{2r^2}+ O\left(\frac{a^2}{r^3}\right) \approx \frac1r + \frac{a\cos(\theta)}{2r^2}.$$

А теперь другой важный момент: поскольку заряды равны, но противоположны, старший член в этом ряду ($1/r)$будет то же самое, поэтому оно уравновешивается, но поправки идут в противоположных направлениях, так что, когда вы вычитаете два потенциала, поправки складываются конструктивно:

$$\begin{align} \frac{1}{b} &\approx \frac1r + \frac{a\cos(\theta)}{2r^2} \\ \frac{1}{c} &\approx \frac1r - \frac{a\cos(\theta)}{2r^2} \\ \implies \frac{1}{b} - \frac{1}{c} &\approx \frac{a\cos(\theta)}{r^2}. \\ \end{align}$$ Вот где $\propto 1/r^2$потенциал исходит из - как поправки ведущего порядка к двум расстояниям, и он наиболее четко получен с помощью ряда Тейлора $1/b$когда он смещен.

Это означает, что если вы настаиваете на том, чтобы видеть вещи на конкретной геометрии вашей диаграммы, то геометрия точна только в том пределе, где$r\gg a$, т.е. когда строки$(-Q)P$,$LM$и$(+Q)P$параллельны; если они не параллельны, то тождество$c-b=LM$является ложным. Это означает, что геометрическое тождество, которое вы записали,

$$r= \frac{bc}{c-b},$$ никогда не может быть правильным, потому что он не ссылается на $a$. Если вы хотите построить версию этого тождества, которая действительно выполняется, то вам лучше всего работать с законом косинусов обоих треугольников, $$\begin{align} b^2 & = r^2 + \frac{1}{4}a^2 - ra\cos(\theta),\\ c^2 & = r^2 + \frac{1}{4}a^2 + ra\cos(\theta). \end{align}$$ Таким образом:

• Если то, что вы хотите, это потенциал, то нужно перефразировать это как

  $$\frac{1}{b} = \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1-\frac ar\cos(\theta) + \frac{a^2}{r^2}}},$$ и расширьте квадратный корень, используя биномиальный ряд Ньютона.

• Если вам нужна разница в длине$c-b$, то это лучше всего сделать через

  $$b-c = r\left[\sqrt{1+\frac ar\cos(\theta) + \frac{a^2}{r^2}} - \sqrt{1-\frac ar\cos(\theta) + \frac{a^2}{r^2}}\right]$$ и снова расширение с использованием биномиального ряда.

• Если вам нужна правильная версия$r=bc/(c-b)$, то вы можете ввести эти выражения, чтобы получить

  $$\frac{bc}{c-b} \approx \frac{r^2}{a\cos(\theta)},$$ и так как вы смотрите на$r\gg a$предел, который говорит вам, насколько неправильно$r=bc/(c-b)$отождествление находится в этой геометрии.