Уточнение мультипольного разложения для точечного заряда

Мультипольные коэффициенты, связанные с$1/|r|$распределение$\rho$зависит от выбора происхождения. Например, если у вас есть точечный заряд, и вы выбираете начало координат в этом точечном заряде, тогда он будет иметь чисто монопольный характер. Однако, если вы выберете начало координат в другом месте, у него будут отличные от нуля коэффициенты расширения, кроме монополя. Это артефакт выбранной вами системы координат.

Чтобы сделать это строгим, пусть$\mathbf{I}=\{I_0^0,I_1^{-1},I_1^{0},I_1^1,...\}$и$\mathbf{R}=\{R_0^0,R_1^{-1},R_1^{0},R_1^1,...\}$— множество неправильных и правильных твердых гармоник. Тогда потенциал$V(\mathbf{r})$из-за$\rho$допускает внешние и внутренние мультипольные разложения

$$V=\sum_{J=0}^\infty \mathbf{I}_J\rangle\left\langle\mathbf{R}_J,\rho\right\rangle\qquad\text{when }|\mathbf{r}|>r_\text{max} \\ V=\sum_{J=0}^\infty \mathbf{R}_J\rangle\left\langle\mathbf{I}_J,\rho\right\rangle\qquad\text{when }|\mathbf{r}|<r_\text{min}$$ или в матричной записи, $$V=\mathbf{I}\mathbf{R}^\dagger\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|>r_\text{max} \\ V=\mathbf{R}\mathbf{I}^\dagger\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|<r_\text{min}.$$

В случае, когда$\rho$является чисто реальным, мы можем использовать реальные твердые гармоники$\mathbf{I}'$и$\mathbf{R}'$, которые связаны со стандартными телесными гармониками унитарной блочно-диагональной матрицей $\mathbf{U}$с помощью$\mathbf{I}'=\mathbf{I}\mathbf{U}$откуда получаем аналогичные вещественные разложения

$$V=\mathbf{I}\mathbf{R}^\dagger\rho=\mathbf{I}\mathbf{U}\mathbf{U}^\dagger\mathbf{R}^\dagger\rho=[\mathbf{I}'][\mathbf{R}']^\dagger\rho=[\mathbf{I}'][\mathbf{R}']^\mathsf{T}\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|>r_\text{max} \\ V=\mathbf{R}\mathbf{I}^\dagger\rho=\mathbf{R}\mathbf{U}\mathbf{U}^\dagger\mathbf{I}^\dagger\rho=[\mathbf{R}'][\mathbf{I}']^\dagger\rho=[\mathbf{R}'][\mathbf{I}']^\mathsf{T}\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|<r_\text{min}$$

который имеет то преимущество, что список мультипольных моментов$[\mathbf{I}']^\mathsf{T}\rho$или$[\mathbf{R}']^\mathsf{T}\rho$чисто настоящие.

Так почему же точечный заряд, не расположенный в начале координат, имеет моменты, отличные от монопольного? По той же причине стиральная машина с енотом внутри будет трястись во время стирки: она не сбалансирована, так как заряды (или масса) не расположены в центре соответствующей системы координат.

В качестве явного доказательства того, почему точечный заряд, не расположенный в начале координат, не может иметь чисто монопольный момент, предположим обратное. Тогда пробный заряд будет равномерно ускорен к центру системы координат, а не к точечному заряду. Это противоречие. Следовательно, должны быть задействованы высшие моменты.

В качестве альтернативы, подробное обоснование можно также получить, применяя теорему сложения для сферических гармоник, но мы надеемся, что доказательство, приведенное в предыдущем абзаце, достаточно ясно показывает, почему появляются более высокие моменты, когда точечный заряд не находится в выбранном начале координат.

Вот численный пример для вычисления моментов одиночного точечного заряда, расположенного в сферической координате$(R,\pi/2,0)$в Mathematica (он также вычисляет потенциал$V$в произвольной точке и сравнивает его с потенциалом, полученным при прямом приложении$V=1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|$):

SolidHarmonicI[l_, m_, r_, \[Theta]_, \[Phi]_] := 
  Sqrt[(4 \[Pi])/(2 l + 1)]
    SphericalHarmonicY[l, m, \[Theta], \[Phi]]/r^(l + 1);
SolidHarmonicR[l_, m_, r_, \[Theta]_, \[Phi]_] := 
  Sqrt[(4 \[Pi])/(2 l + 1)] r^
   l SphericalHarmonicY[l, m, \[Theta], \[Phi]];
SphToCart = CoordinateTransform["Spherical" -> "Cartesian", #] &;
r = {R, \[Pi]/2, 0};(*Spherical coordinates of point charge*)

Q[L_, m_] := ((-1)^m SolidHarmonicR[L, -m, ##] & @@ 
    r) q;(*Exterior multipole moment or order (L,m)*)
MatrixForm[
 Table[Q[L, m], {L, 0, 5}, {m, -L, L}]]
rule = {R -> 1.2, q -> 2, 
   rtest -> 5.2, \[Theta]test -> 1.2, \[Phi]test -> 2.3};
Chop[Sum[SolidHarmonicI[L, m, rtest, \[Theta]test, \[Phi]test] Q[L, 
     m], {L, 0, 5}, {m, -L, L}] /. rule]
q/Norm[SphToCart@r - 
    SphToCart@{rtest, \[Theta]test, \[Phi]test}] /. rule

0,332219

0,332273

$$\left( \begin{array}{c} \{q\} \\ \left\{\frac{q R}{\sqrt{2}},0,-\frac{q R}{\sqrt{2}}\right\} \\ \left\{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} q R^2,0,-\frac{q R^2}{2},0,\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} q R^2\right\} \\ \left\{\frac{1}{4} \sqrt{5} q R^3,0,-\frac{1}{4} \sqrt{3} q R^3,0,\frac{1}{4} \sqrt{3} q R^3,0,-\frac{1}{4} \sqrt{5} q R^3\right\} \\ \left\{\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{2}} q R^4,0,-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{2}} q R^4,0,\frac{3 q R^4}{8},0,-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{2}} q R^4,0,\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{2}} q R^4\right\} \\ \end{array} \right)$$

Обратите внимание, что существуют ненулевые моменты всех порядков всякий раз, когда$R\neq 0$. Тем не менее, потенциал в месте проведения испытаний верен с точностью до частей на тысячу, когда сумма доходит до$L=4$.

как мне доказать, что точечный заряд имеет только монополь?

Набор$R=0$в приведенном выше треугольнике чисел. Исчезает все, кроме монопольного члена.