Почему обычное ускорение не приводит к изменению скорости?

Почему обычное ускорение не приводит к изменению скорости?

На мой взгляд, более плодотворно задать вопрос: «Каков вектор ускорения объекта при равномерном (с постоянной скоростью) движении по окружности?»

Такой объект, движущийся в плоскости xy, имеет координаты:

$$x(t) = R\cos(\omega t + \phi)$$

$$y(t) = R\sin(\omega t + \phi)$$

где$R$(радиус кругового пути) и$\omega$(угловая скорость объекта) являются константами. Тогда вектор скорости объекта равен

$$\mathbf{v}(t) = -\omega R\sin(\omega t + \phi)\mathbf{\hat{x}} + \omega R\cos(\omega t + \phi)\mathbf{\hat{y}}$$

Ясно, что скорость (модуль вектора скорости) постоянна и равна$|\mathbf{v}| = \omega R$.

Теперь вычислите вектор ускорения (сделайте это сами) и найдите, что (1) он отличен от нуля и постоянен по величине и (2) он всегда перпендикулярен (нормальен) скорости .

Позвольте мне попытаться ответить на ваши вопросы отдельно ниже.

затем$|v| = \sqrt{v_{0}^2+\frac{(At)^2}{1}}$

Ускорение, которое вы подставляете в эту формулу, не действует в том же направлении, что и скорость в формуле.

Эта формула выглядит как одно из четырех основных кинематических уравнений. Они работают только по одному пути (по одному измерению), потому что это скалярные уравнения, а не векторные уравнения. Не смешивайте измерения. (Другими словами, ускорение (которое является приростом скорости) должно быть приростом той же скорости, что и$v$представляет - и скалярно разные направления/размеры имеют разные скорости).

Из комментария:

начальная скорость v и новая скорость V из-за центростремительного ускорения являются взаимно перпендикулярными векторами, поэтому их добавление должно дать новый вектор скорости с указанной выше величиной, не так ли?

Перпендикулярное ускорение создает перпендикулярную скорость. Теперь у нас есть исходная скорость и эта новая боковая скорость. Вместе они создают новую результирующую скорость, которая немного наклонена внутрь. Немного повернулся .

Если боковая составляющая пренебрежимо мала (а это так, поскольку ускорение тянет в эту сторону только в течение пренебрежимо малого времени), то изменение величины пренебрежимо мало. Так что без изменения величины.

Поворот крошечный, но в следующее мгновение происходит то же самое, потому что ускорение поворачивается со скоростью. Сделайте это много раз, и вы увидите комбинированный большой поворот, но без изменения величины.

Во-вторых, почему скорость всегда касается окружности, но как мы можем математически показать это?

Математически я бы назвал вектор скорости вектором направления (хотя не уверен, что это правильный английский термин. Это прямой перевод с моего родного языка). Это вектор направления, потому что он всегда указывает в направлении изменения в той самой точке, в которой он находится.

Скорость – это изменение положения, м/с. Итак, куда бы она ни указывала, к положению добавляются метры, так что частица движется именно так. Таким образом, вектор скорости всегда будет касательным к круговому пути, потому что это путь, пройденный объектом - положение меняется на следующую точку на этом пути в каждый момент времени.

Интуитивно для меня, если есть постоянное ускорение в направлении определенного, то в какой-то момент времени тело должно «расслабиться» и упасть в направлении ускорения.

Конечно, и это определенно также было бы. Но ускорение меняется вместе с поворотом направления. Другими словами, ваша интуиция верна, но только на мгновение. Тогда у вас есть новая ситуация и новое направление падения вашего объекта.

Подумайте о спутнике на орбите вокруг планеты. Он удерживается на орбите гравитацией, которая представляет собой такое ускорение, которое всегда направлено внутрь.

• Если бы спутник был просто помещен космической станцией на некотором расстоянии от Земли, он бы упал прямо вниз и разбился.
• Если бы его бросили вбок, то он все равно упал бы и разбился, но он падал бы по кривой, потому что теперь у него была еще и боковая скорость.
• А теперь представьте, что вы бросаете его так сильно, что он не попадает в Землю! Он падает, падает и падает, но боковая скорость достаточно велика, чтобы он упал рядом с Землей, а не разбился.

По сути, это то, что происходит при круговом движении: объект (спутник) падает к центру (Земля), но все время промахивается .

На самом деле мы можем получить скорость изменения скорости и направления движения математически следующим образом. Для этого даже не требуется, чтобы объект двигался по кругу; это совершенно общее.

Как изменится скорость частицы, определяется выражением

$$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}.$$ Используя некоторые стандартные правила дифференцирования, получаем, что эта величина равна составляющей ускорения по направлению движения: $$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}}\frac{d}{dt}\vec{v}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2v}\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}\right) = \frac{1}{2v}\left(\vec{a}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{a}\right) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v} = \vec{a}\cdot\hat{v},$$ где$\hat{v}$- единичный вектор в направлении$\vec{v}$. Этот компонент можно назвать$a_t = \vec{a}\cdot\hat{v}$($t$для тангенциального).

Направление$\vec{v}$просто$\hat{v}$, и так

$$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{\vec{v}}{v} = \frac{1}{v}\frac{d\vec{v}}{dt} - \vec{v}\frac{1}{v^2}\frac{dv}{dt},$$ Переставляя и используя приведенный выше результат, мы можем переписать это как $$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{1}{v}\left(\vec{a} - (\vec{a}\cdot\hat{v})\hat{v}\right).$$ Величина в скобках — это в точности составляющая$\vec{a}$ перпендикулярно скорости. (Вы можете проверить ортогональность, взяв скалярное произведение этого вектора с$\vec{v}$и найти, что это ноль.) Изменение направления $d\hat{v}/dt$поэтому зависит только от этого перпендикулярного компонента, который вы назвали$A$.