Предположим, что есть вектор v⃗ v→\vec v, который является функцией времени, тогда ddt|v⃗ |ddt|v→|\dfrac{d}{dt}|\vec v| быть векторной величиной или скалярной величиной?

Тщательная математика выглядит так:

Скорость изменения скорости частицы определяется выражением

$$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}.$$ Используя цепные и продуктовые правила дифференцирования, получаем $$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}}\frac{d}{dt}\vec{v}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2v}\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}\right) = \frac{1}{2v}\left(\vec{a}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{a}\right) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v} = \vec{a}\cdot\hat{v},$$ где$\hat{v}$- единичный вектор в направлении$\vec{v}$, так$\hat{v}$это направление _$\vec{v}$. Из этого мы можем видеть, что, поскольку мы добавляем ускорение к скорости, мы получаем составляющую$\vec{a}$вдоль$\hat{v}$что приводит к изменению скорости. Этот компонент - это то, что вы бы назвали$a_t = \vec{a}\cdot\hat{v}$, а из-за скалярного произведения это явно не векторная величина .

Далее мы рассмотрим, как направление$\vec{v}$меняется. Поскольку направление$\vec{v}$просто$\hat{v}$, мы хотим вычислить производную от$\hat{v}$:

$$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{\vec{v}}{v} = \frac{1}{v}\frac{d\vec{v}}{dt} - \vec{v}\frac{1}{v^2}\frac{dv}{dt},$$ где мы снова использовали правило произведения (сначала), а затем правило цепочки. Мы тщательно перестраиваем это уравнение и подставляем вместо$dv/dt$из нашего предыдущего расчета, в результате чего $$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{1}{v}\left(\vec{a} - (\vec{a}\cdot\hat{v})\hat{v}\right).$$ Величина в скобках — это в точности составляющая$\vec{a}$ перпендикулярно скорости. (Вы можете проверить ортогональность, взяв скалярное произведение этого вектора с$\vec{v}$и найти, что это ноль.) Изменение направления $d\hat{v}/dt$поэтому зависит только от этой перпендикулярной составляющей, которую мы могли бы назвать$\vec{a}_r = \vec{a} - (\vec{a}\cdot\hat{v})\hat{v}$.

$a_t=d|v_{t}|/dt$

Это дает только величину тангенциального ускорения, общее тангенциальное ускорение является векторной величиной.

$|\vec{v}|$является нормой вектора$\vec{v}$, и является скалярным значением. Если$\vec{v}$это скорость,$|\vec{v}|$это скорость.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{v} = \vec{a}$, вектор ускорения.

Когда мы говорим «тангенциальное ускорение», мы имеем в виду «тангенциальное направление».

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} |\vec{v}_t| = |\vec{a}_t|$- величина тангенциального ускорения.

Производная по времени от$\lvert \vec v \rvert$— тангенциальная составляющая ускорения, являющаяся скалярной величиной, а не тангенциальная проекция , являющаяся вектором.

Отложив физику в сторону, учитывая любой вектор$\vec u$и любой ненулевой вектор$\vec v$, вы можете определить компонент$\vec u$в направлении$\vec v$как скалярная величина:$\operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u = \vec u \cdot \vec v / \lvert \vec v \rvert$. Вы также можете определить проекцию$\vec u$вдоль направления$\vec v$как векторная величина:$\operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u = ( \vec u \cdot \vec v / \lvert \vec v \rvert ^ 2 ) \, \vec v$. Они связаны, как$\operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u = ( \operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u ) \, \vec v / \lvert \vec v \rvert$, и$\operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u = \pm \lvert \operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u \rvert$(с плюсом, если$\vec u \cdot \vec v$положительно, минус, если$\vec u \cdot \vec v$отрицательно, и оба, если$\vec u \cdot \vec v$равен нулю, так как тогда обе эти величины равны нулю).

Когда$\vec v$стандартный базисный вектор ($\hat \imath$или$\hat \jmath$в 2-х измерениях), то это обычные компоненты; то есть,$\operatorname { comp } _ { \hat \imath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = a$, и$\operatorname { comp } _ { \hat \jmath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = b$. В отличие от$\operatorname { proj } _ { \hat \imath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = a \hat \imath$, и$\operatorname { proj } _ { \hat \jmath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = b \hat \jmath$. Вы также можете написать$\vec u = ( \operatorname { comp } _ { \hat \imath } \vec u ) \hat \imath + ( \operatorname { comp } _ { \hat \jmath } \vec u ) \hat \jmath$и$\vec u = \operatorname { proj } _ { \hat \imath } \vec u + \operatorname { proj } _ { \hat \jmath } \vec u$. (И это работает для любого ортонормированного базиса, а не только для стандартного базиса$\{ \hat \imath , \hat \jmath \}$.) Вот почему даже в общем случае мы употребляем слово «компонент». (По той причине, по которой мы говорим «проекция», представьте, что вы освещаете$\vec u$с направления, перпендикулярного$\vec v$и наблюдая его тень на линии через$\vec v$.)

Теперь, когда$\vec v$- вектор скорости движущегося объекта, то направление$\vec v$(при условии, что$\vec v$отличен от нуля, так что это имеет смысл) всегда касается кривой движения, поэтому$\operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u$можно назвать тангенциальной составляющей$\vec u$, и$\operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u$является тангенциальной проекцией$\vec u$. Если$\vec u$это ускорение$\mathrm d \vec v / \mathrm d t$(где$t$есть время), то путем дифференцирования$\lvert \vec v \rvert ^ 2 = \vec v \cdot \vec v$, мы получаем$2 \lvert \vec v \rvert \, \mathrm d \lvert \vec v \rvert = 2 \vec v \cdot \mathrm d \vec v$, так$\mathrm d \lvert v \rvert / \mathrm d t = \vec v \cdot \vec u / \lvert \vec v \rvert = \operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u$. Таким образом, производная скорости по времени есть тангенциальная составляющая ускорения.

Итак, вы слышите «тангенциальное ускорение» и интерпретируете это как тангенциальную проекцию, что сбивает вас с толку, поскольку это вектор. Но на самом деле имеется в виду (и должно быть сказано) тангенциальная составляющая ускорения, и это скаляр.