Почему плотность линий электрического поля имеет смысл, если через каждую точку проходит силовая линия?

Силовые линии полностью основаны на законе Гаусса для электростатического поля .

Совершенно идентичная форма этих двух уравнений означает, что мы можем плодотворно интерпретировать электрическое поле как скорость вымышленной «жидкости», которая сохраняется или не сохраняется в зависимости от того, присутствуют ли заряды. Более конкретно, мы можем предложить полезный способ описания жидкостей — использование диаграмм линий тока — чтобы помочь нам визуализировать электрические поля (и, конечно же, магнитостатические и гравитационные поля, к которым также применим весь этот пост).

Давайте тогда воспользуемся этим отображением: мы можем отобразить ваш вопрос: «Как и почему работают диаграммы силовых линий электрического поля?» в соответствующий вопрос двойственной задачи:

"как и почему работают потоковые диаграммы?"

Диаграммы потоков изображают конечное число линий, касательных к текущему$\mathbf{j}=\rho_\text{fluid}\mathbf{v}$во всех точках. Это означает, что частица, начавшая движение по линии тока, останется на ней по мере течения жидкости.

^{(Источник изображения)}

Самое интересное начинается, когда обтекаемые линии внезапно становятся ближе друг к другу. Это означает, что либо жидкость была сжата, либо единица объема жидкости растянулась, так что она стала длиннее вдоль линий тока (как, например , на этой диаграмме ), и поэтому жидкость движется быстрее. В любом случае плотность тока жидкости$|\mathbf{j}|$увеличивается.

Это можно уточнить. На изображении аэродинамического профиля выше, например, «затравки» линий тока (точки слева, в которых начинаются линии тока) были выбраны так, чтобы жидкость, втекающая в единицу времени в изображение слева между любыми двумя соседними линии тока постоянны. Поскольку жидкость не течет поперек линии тока, эта скорость потока жидкости должна оставаться постоянной. Из-за этого, когда линии тока ближе друг к другу, скорость потока жидкости на единицу площади (т.е. плотность тока) больше.

(Кроме того, если есть источники или стоки, где создается или разрушается жидкость, то вам может понадобиться ввести или удалить некоторые линии тока, потому что в такой ситуации скорость течения жидкости между первоначальными линиями тока, конечно, уже не равна сохраняется.)

Из-за этого факта, если вам дано графическое представление линий тока потока жидкости, вы можете использовать его для реконструкции аппроксимации поля его текущей плотности. Его направление задается линиями тока, а его величина определяется расстоянием до соседних линий тока. Это, конечно, только приблизительно: вы можете попытаться интерполировать значения между двумя линиями тока, но вам не хватает информации. Вы можете попытаться улучшить свою аппроксимацию, взяв более мелкую сетку, то есть уменьшив скорость потока, необходимую для обозначения следующей линии тока, и это даст вам лучшую точность (но, конечно, это все равно будет аппроксимация).

И наоборот, чтобы создать диаграмму тока, вы должны сначала согласовать скорость потока, которую следует принимать до следующей линии тока. После этого вы начинаете свои «официальные» линии потока с одного конца потока с соответствующим интервалом и следуете им до конца. (Обратите внимание, однако, что из-за сохранения скорости потока между соседними линиями потока вы также можете начать свои линии потока в середине потока, если вы правильно разместите их ). Тогда будет конечное число «официальных» линий потока, а также бесконечное количество потенциальных линий потока, которые вы можете провести между ними. Это, конечно, «официальные», которые вы должны использовать при оценке плотности тока по диаграмме.

Затем вы можете уменьшить расстояние между «официальными» линиями тока, и это даст вам более точное представление поля потока. Еще лучше, если ваши потоковые линии действительно близки друг к другу, тогда имеет смысл говорить о локальной плотности официальных потоковых линий. Если жидкость замедляется наполовину из одной области в другую, а ваши линии тока все еще очень близки друг к другу, то вы обнаружите, что их вдвое больше в заданной конечной и малой области, где жидкость движется быстро. по сравнению с тем, где он медленный.

В пределе , когда вы берете бесконечно много линий тока, расположенных на равном расстоянии друг от друга при соответственно исчезающе малой скорости потока, вы получаете то, о чем платонически говорят. Однако это не имеет смысла, поскольку вам нужно работать с конечным интервалом, но если ваши интервалы очень малы, то вы можете (1) иметь линии тока практически через каждую точку и (2) осмысленно говорить о локальной плотности. официальных потоков, и они постоянно меняются от одного региона к другому в зависимости от местной плотности тока.

Одним из полезных инструментов для визуализации этого ограничения является апплет трехмерных векторных полей Пола Фалстада . Во-первых, он позволяет вам визуализировать электрические поля как поля скоростей фиктивных частиц и позволяет играть в трех измерениях со многими стандартными электростатическими конфигурациями, но, что наиболее важно, позволяет увеличивать и уменьшать плотность силовых линий:

Точно так же это работает и в электростатике. Если у вас есть электростатическое поле (или гравитационное поле), то вы начинаете с выбора достаточно малой единицы электростатического потока (т.е.$\int_S\mathbf{E}\cdot\text d\mathbf{S}$чтобы отделить ваши линии поля. Как только вы зафиксируете это, диаграмма силовых линий по существу будет полностью определена: начиная с данной точки, вы можете нарисовать ее силовую линию, затем отойти от нее на одну единицу потока вверх и вниз и нарисовать эти силовые линии, и повторять это до тех пор, пока не получите охватила всю интересующую область. И, конечно же, если вы встретите области с зарядами, то вам нужно прореживать плотность линий тока или вводить какие-то новые. Тогда закон Гаусса гарантирует, что ваша диаграмма будет последовательной: если вы выберете расстояния так, чтобы локальная плотность силовых линий отражала напряженность электрического поля$|\mathbf{E}|$по заданной поверхности, то это будет происходить по всей диаграмме. Вот почему вы можете использовать такую ​​концепцию, и причина, по которой она действительно работает.

Я также хотел бы изложить здесь некоторые мысли о представительстве. С помощью описанной выше процедуры действительно можно восстановить приближение к электрическому полю в области по диаграмме с конечным числом силовых линий. Таким образом, эти два представления одного и того же дипольного электрического поля по существу эквивалентны*:

Однако то, что они содержат одинаковую информацию, не означает, что они одинаково полезны. Диаграммы силовых линий очень полезны для формирования интуитивного представления о направлении поля и его относительной напряженности в разных областях, но это ужасный инструмент для оценки суперпозиции двух полей (для чего представление векторного поля лучше). и это создает несколько неверных интуиций. В конце концов, даже несмотря на то, что мы действительно можем «объяснить силу гравитации из представления поля, не используя математическое уравнение», попытка сделать это оказывается абсолютно бесполезной. Вы действительно должны рассматривать линии поля просто как инструмент представления и придерживаться математики векторного поля для того, «чем поле является на самом деле».

Наконец, позвольте мне сделать здесь явное предупреждение . Язык в этом посте в первую очередь подходит для двухмерных ситуаций, и его необходимо немного изменить для трехмерных сценариев. Причина этого в том, что в трех измерениях нет «следующей линии тока», и вам нужно начать с соответствующего разброса точек с правильной локальной плотностью на вашей «исходной» поверхности при рисовании линий поля. Правильное обобщение 2D-линий потока в 3D по-прежнему является обтеканием, а не «поверхностями потока» (которые вы действительно можете рисовать, но все становится намного сложнее), и это все усложняет. Тем не менее, это действительно возможно сделать правильно, и аналогия между статическим течением жидкости и электростатикой сохраняется.

На самом деле, это, казалось бы, безобидное разделение на 2D/3D может быть причиной многих тонких ошибок. Возьмем, к примеру, это обычное представление линий поля точечного заряда из повторяющегося вопроса анупама :

Для точечного заряда поток электрического поля через сферу с центром на заряде является постоянным, а это означает, что электрическое поле должно уменьшаться как$1/r^2$. Однако на этом изображении (или в любом 2D-изображении, в котором линии поля не исчезают) расстояние между линиями уменьшается как$1/r$(поскольку количество силовых линий, пересекающих круг, постоянно), это означает, что он серьезно переоценивает напряженность поля. Эта диаграмма больше подходит для изображения электрического поля линии заряда.

Таким образом, чтобы правильно оценить поле по такой диаграмме, вам нужно работать с 3D-диаграммой, подобной той, что создается симулятором Пола Фалстада , который создал графику выше (или эту , если у вас есть деньги), или вы должны работать в 2D-системах (т.е. 3D-системах с трансляционной симметрией).

Однако такого рода ошибка характерна исключительно для представления в виде линий поля — вы бы не допустили ее при использовании представления векторного поля. Вы можете использовать их для создания некоторой интуиции, но остерегайтесь их многочисленных поломок и всегда дополняйте их другими способами визуализации полей.

^{* Обратите внимание, что если вы попытаетесь напрямую построить это в Mathematica, StreamPlotбудет получен неправильный график с линиями поля, появляющимися из ниоткуда; на удивление сложно построить правильные графики линий тока как в системе Mathematica, так и в других местах . Для кода, создавшего их, используйте Import[" http://goo.gl/NaH6rM "][" http://i.stack.imgur.com/CMlWz.png "]. Также обратите внимание, что я сжульничал, несколько уменьшив контраст векторного графика, чтобы сделать стрелки более заметными.}

Вы абсолютно правы в том, что количество линий полей бесконечно, тем не менее, во многих приложениях полезно думать о «плотности линий поля». Вот подход, который, надеюсь, прояснит ситуацию. Давайте подумаем об электрическом поле одиночного заряда. Мы решили нарисовать n линий просто для иллюстрации. На рисунке$n=8$.

Теперь представьте себе сферу вокруг заряда радиусом$r_1=1\:\mathrm m$. Какова числовая плотность, приходящаяся на площадь поверхности линии поля, которую мы выбрали на этой поверхности? Очевидно

Как соотносятся эти плотности чисел? Какой из них больше и насколько он больше? Обратите внимание, что

Заметим, что приведенное выше соотношение не зависит от$n$поэтому, если бы мы решили нарисовать 10, 100 или 10 миллиардов линий, это не имело бы значения. Даже если бы мы решили довести n до бесконечности, результат все равно не изменился бы, потому что он не зависит от$n$! В этом смысле имеет смысл сказать, что плотность силовых линий уменьшается, даже если число силовых линий бесконечно.

существует бесконечное количество линий, которые мы можем нарисовать повсюду, поэтому мы не можем представить себе область с более плотными линиями.

Несмотря на наличие бесконечных линий, абсолютно не проблема сказать, что одна плотность больше другой. Математически мы можем написать:

Так что мы говорим не об истинных бесконечностях, а о пределе, когда количество силовых линий сколь угодно велико. Это подразумевает неявное предположение, что чем больше число линий поля, тем точнее модель.

Тогда почему мы все еще можем использовать такое понятие?

Существует конечное число молекул воды, но большинство моделей воды предполагают, что это бесконечно делимая непрерывная «жидкость». Это обратная ситуация, когда у нас есть бесконечное количество строк, но мы можем предположить конечно большое число и получить приблизительный правильный ответ. Чем больше линий поля используется, тем лучше приближение.

На самом деле все сводится к закону Гаусса:

Это означает, что если нет зарядов, то нет и расходимости поля. Это означает, что линии поля могут начинаться и заканчиваться только за плату. Вот что делает эту визуализацию такой полезной (вы не можете просто начинать и заканчивать линии поля в любом месте), если вы рисуете линию поля, она должна быть петлей или заканчиваться на зарядах или в бесконечности.

Другое полезное свойство состоит в том, что линия поля является геометрическим местом. Это означает, что каждая точка на прямой удовлетворяет определенному условию. Например. на топографической (альпинистской) карте есть линии на карте.

Эти линии представляют собой линии одинаковой высоты, поэтому, если вы идете по линии, вы не будете ни подниматься, ни опускаться по высоте. И если вы будете двигаться перпендикулярно линиям, вы будете подниматься в самом крутом направлении. Вы также можете узнать, как далеко вы поднялись, подсчитав количество пройденных линий.

Если каждая линия представляет собой подъем на десять метров, и вы проходите четыре из них на карте, вы поднялись на сорок метров по вертикали. Однако, чтобы быть более точным, мы должны иметь в десять раз больше линий, каждая из которых соответствует одному метру, или бесконечное число линий, представляющих бесконечно малое увеличение высоты. И если я буду использовать последнюю карту с бесконечным числом линий, разве это опровергнет идею о том, что одни склоны круче других, поскольку повсюду бесконечное количество линий? Конечно нет.

Другие линии поля представляют другую полезную информацию, например линии электрического поля представляют движение свободного заряда, если бы он был помещен на эту линию (если бы на нее не действовали другие силы).

Или линии гравитационного поля, представляющие собой линии равного гравитационного потенциала.

Но на самом деле силовые линии используются в моделях не только в визуализациях, так как они хорошо передают качественную информацию. Большинство современных моделей полностью математические, поскольку они количественные по своей природе.

там бесконечное количество строк

Есть ли на самом деле? (Честно говоря, я не знаю об электрических полях, может кто-нибудь оставить ссылку в комментариях, если вы знаете.)

Однако для магнитных полей в данном пространстве существует конечное число силовых линий.

Закон Гаусса применяется к магнитным полям:

Это утверждает то же самое, что и для электрических полей, за исключением того, что нет магнитных монополей для начала и конца линий. IE Линии магнитного поля должны быть замкнутыми петлями.

Сверхпроводящее квантовое интерференционное устройство использует это преимущество, улавливая отдельные петли магнитного поля через свою сверхпроводящую петлю. (Магнитные поля не могут проникать через сверхпроводники.) В сверхпроводящем контуре имеется слабое место. Можно с помощью интерференции обнаруживать каждый раз, когда одна линия поля проходит через слабое место. А поскольку силовые линии магнитного поля квантуются, то будет конечное число отдельных силовых линий магнитного поля.

Положительно заряженный точечный объект в космосе имеет силовые линии, исходящие наружу от заряда, это следует представить в трехмерном пространстве. Полученная фигура представляет собой шар.

Теперь предположим, что у меня есть сфера радиуса$r$с массой$M$имеет объем$V$имеет выражение$\frac{4}{3}\pi r^3$.

Плотность шара$M/V$который имеет$1/r^3$зависимость. Если увеличить радиус сферы, плотность уменьшится.

Точно так же мы можем объяснить геометрию силовой линии точечного заряда. Он становится менее плотным по мере увеличения расстояния.

Мой предыдущий ответ ушел от заданного вопроса, мои извинения ОП и читателям.

Полного описания геометрии всех силовых линий векторного поля достаточно, чтобы полностью указать направление векторного поля всюду. Чтобы также изобразить величину, выборка силовых линий рисуется таким образом, что плотность силовых линий (количество силовых линий на единицу перпендикулярной площади) в любом месте пропорциональна величине векторного поля в этой точке.
Источник: Википедия (полевые линии)

Чтобы объяснить простыми словами, плотность силовых линий отображает напряженность электрического поля на расстоянии.$r$от его источника/приемника. Это сравнительное исследование силовых линий на разных радиальных расстояниях, но оно не дает нам точную напряженность поля.

Это не дало бы нам точную напряженность поля, потому что она рассчитывается по относительной плотности силовых линий, которые нарисованы произвольно и могут варьироваться в количестве от 1 до бесконечности.

Изучим плотности силовых линий теперь на радиальных расстояниях$r_1$а также$r_2$
Позволять$n$линии поля рисуются от источника/приемника поля

Плотность силовых линий на расстоянии "$r_1$"дан как

Плотность силовых линий на расстоянии$r_2$дается как

Сравнение напряженности поля на двух расстояниях

Неважно, если вы сделаете$n$бесконечное, стремящееся к бесконечному или любому другому числу, как имеющему пределы, иначе оно будет обрезано, и мы получим обратную квадратную зависимость плотности/силы силовых линий с радиальным расстоянием, и это все, что мы хотим показать с изображением плотности силовых линий. Вот почему эта картина работает математически.
Если вы попытаетесь нарисовать бесконечные линии, на самом деле вам нужно будет рисовать линии из$0$площадь поперечного сечения, которая невозможна ни одним известным человеком/программным обеспечением. Однако, если вы нарисуете очень тонкие линии, вы начнете получать полную сферу с торчащими волосами (на самом деле шипами), поскольку расстояние между этими щупальцами продолжает увеличиваться, плотность уменьшается обратно пропорционально квадрату радиуса.

Обратите внимание, что фактическая напряженность поля на любом расстоянии будет

Приложение:
Если вам нужно математически наблюдать$\frac{\infty}{\infty}$тогда попробуй как$\frac{0}{0}$оба из которых дают undefined в качестве ответа, и это ожидается, как вы можете видеть, когда рисуете$0$линий, вы не можете определить плотность силовых линий, тем более относительную плотность силовых линий!

Вам лучше лечить$\infty$как большое большое число, больше, чем все возможные числа, и в этом случае вы можете отменить два ! Точно так же мы представляем очень длинную проволоку или очень большой лист как бесконечно большой, так как он представляет ОГРОМНОЕ число для нашей цели (расчеты вблизи).

Как кто-то указал, фактическое распределение является непрерывным. Эта модель именно такая. Модель. Настоящих бесконечностей в реальности не существует, поэтому их использование в модели только уничтожит ее полезность. Но независимо от того, имеем ли мы 10 линий или 10 миллиардов линий, плотность уменьшается с увеличением радиуса. Так что концепция этой модели работает просто отлично.