Почему полная кинетическая энергия всегда равна сумме вращательной и поступательной кинетических энергий?

Question

Почему полная кинетическая энергия всегда равна сумме вращательной и поступательной кинетических энергий?

пользователь86425

Мой вывод следующий.

Суммарный КЭ, $T_r$ для твердого объекта, чисто вращающегося вокруг оси с угловой скоростью $\bf{ω}$ и с $i$ частица, вращающаяся со скоростью $\textbf{v}_{(rot)i} = \textbf{r}_i \times \textbf{ω}$ , (суммируя по i-й частице) равно $T_r = \frac{1}{2}m_i|\textbf{r}_i \times \textbf{ω}|^2$ , пока начало координат проходит через ось вращения.
Давайте разложим их, используя систему координат с 3 произвольными ортогональными единичными векторами, направления которых имеют индекс (1,2,3), и раскроем скобки. Можно показать, что результат $T_r = \frac{1}{2}I_{ij}ω_iω_j$ суммируя с $i,j = 1$ к $3$ , и где $I_{ij}$ элементы тензора момента/произведения инерции в данной системе координат.

Это похоже на стандартное выражение для кинетической энергии вращения. Единственным предположением было то, что объект имеет постоянное вращение и что выбранное нами начало координат лежит на оси вращения.

Теперь давайте разгоним объект со скоростью $\textbf{v}_o$ . Полная скорость теперь $\textbf{v}_o + \textbf{v}_{(rot)i}$ поэтому общий КЭ равен $\frac{1}{2}Mv_o^2 + T_r + m_i \textbf{v}_o \cdot({\textbf{r}_i \times\textbf{ω})}$

Мне кажется, что третий член тривиально не равен нулю. Если это так, может ли кто-нибудь показать это? Если нет, то почему мы просто добавляем энергии вращения и перемещения в механике?

Герт

Где итоги, о которых вы говорите?

Ответы (1)

Почему полная кинетическая энергия всегда равна сумме вращательной и поступательной кинетических энергий?

Дж. Мюррей · Answer 1

Вы правы в том, что третий член в общем случае не исчезает. Ключевым элементом в разложении кинетической энергии на вращательную и поступательную части является то, что вы вычисляете вращательную кинетическую энергию вокруг центра масс .

Если центр масс объекта находится в начале координат и $\mathbf r_i$ это позиция $i^{th}$ масса, дальше все идет так, как вы предлагаете. Скорость $i^{th}$ масса $\mathbf v_i = \mathbf r_i \times \boldsymbol \omega$ , поэтому полная кинетическая энергия равна

Т "=" Т_{р} "=" \sum_{я} \frac{1}{2} м_{я} (р_{я} \times ю)^{2}

$T = T_r = \sum_i\frac{1}{2} m_i (\mathbf r_i\times \boldsymbol \omega)^2$

Если мы выполним повышение, то у нас будет это $\mathbf v_i = \mathbf (r_i-\mathbf R) \times \boldsymbol \omega_{CM} + \mathbf v_0$ , где $\boldsymbol \omega_{CM}$ - угловая скорость относительно центра масс и $\mathbf R$ это положение центра масс. Это дало бы нам

Т "=" \sum_{я} \frac{1}{2} м_{я} {([р_{я} - р] \times ю_{С М} + в_{0})}^{2}

$T=\sum_i\frac{1}{2}m_i\left([\mathbf r_i -\mathbf R]\times\boldsymbol \omega_{CM} + \mathbf v_0\right)^2$

"=" \sum_{я} {\frac{1}{2} м_{я} ([р_{я} - р] \times ю_{С М})^{2} + \frac{1}{2} м_{я} в_{0}^{2} + м_{я} в_{0} \cdot [р_{я} - р] \times ю_{С М}}

$= \sum_i\left\{ \frac{1}{2}m_i\big([\mathbf r_i - \mathbf R]\times \boldsymbol \omega_{CM}\big)^2 + \frac{1}{2}m_i \mathbf v_0^2 + m_i \mathbf v_0\cdot [\mathbf r_i-\mathbf R]\times \boldsymbol \omega_{CM}\right\}$ Первый член — это кинетическая энергия вращения вокруг центра масс . Второй член представляет собой поступательную кинетическую энергию, рассчитанную так, как если бы вся масса

M

$M$ были сосредоточены в центре масс. Третий член исчезает, потому что, если мы просуммируем по массам,

\sum_{я} (м_{я} р_{я} - м_{я} р) "=" М р - М р "=" 0

$\sum_i (m_i\mathbf r_i - m_i \mathbf R) = M\mathbf R - M\mathbf R = 0$ .

Как насчет КЭ объекта в ситуации, когда ось вращения не обязательно проходит через ком? Мы знаем, что у любого твердого тела должна быть мгновенная ось вращения, но мы не знаем, проходит ли она через центр масс, потому что могут действовать внешние силы.
Например, возьмем гироскоп, смоделированный как вращающийся под действием силы тяжести конус, вершина которого закреплена на столе. Центр лежит на оси конуса, однако ось вращения продолжает двигаться, и поэтому вершина конуса является подходящей точкой отсчета, но центр масс не проходит через ось вращения из-за вращения вокруг вертикальной оси z.
@lucky-guess Я не уверен, что понял твой вопрос. Если вы не рассчитаете кинетическую энергию вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, то полная кинетическая энергия не будет аккуратно разложена на вращательную и поступательную части. Вы вольны сделать это в любом случае, конечно.
просто вращающаяся часть не может быть четко определена вокруг центра масс, как в случае, который я обсуждал ранее. Но я думаю, что тогда третий термин легко обрабатывается как $M v_o \cdot{ (w \times{r_{c.o.m}})}$
Кажется, в этом анализе есть небольшое упрощение @J.Murray. Вы объявляете скорость i-й частицы равной $\left([\mathbf r_i -\mathbf R]\times\boldsymbol \omega_{CM} + \mathbf v_0\right)$ . Однако это не может быть правильным, если только поступательная скорость i-й частицы не указывает в том же направлении, что и угловая скорость. В противном случае небольшой компонент будет торчать из $v_0$ срок. Таким образом, есть ли способ доказать это более строго, правильно используя векторы?
@ Dude156 Dude156 Я не понимаю твоего возражения. $([\mathbf r_i - \mathbf R]\times \boldsymbol{\omega}_{CM} +\mathbf v_0)$ не параллельно $\boldsymbol \omega_{CM}$ если первый член не обращается в нуль и $\mathbf v_0$ и $\boldsymbol \omega_{CM}$ указывают в одном и том же направлении, ни то, ни другое в общем случае неверно.
Ага! Я вижу сейчас. Так как же тогда вам удалось избежать поиска сначала величины выражения, прежде чем сразу перейти к возведению в квадрат?
@Dude156 Dude156 Квадратные вещи - это то, как вы находите величины. Я использовал тот факт, что $(\mathbf A +\mathbf B)^2 = (\mathbf A +\mathbf B)\cdot (\mathbf A + \mathbf B) = \mathbf A\cdot \mathbf A + \mathbf B \cdot \mathbf B + 2\mathbf A \cdot \mathbf B$

Почему полная кинетическая энергия всегда равна сумме вращательной и поступательной кинетических энергий?

пользователь86425

Герт

Ответы (1)

Дж. Мюррей

пользователь86425

пользователь86425

Дж. Мюррей

пользователь86425

чувак156

Дж. Мюррей

чувак156

Дж. Мюррей

чувак156

Лагранжиан тяжелого симметричного волчка — инерциальная или неинерциальная система отсчета?

Лагранжиан в неинерциальной системе отсчета

Использование энергии в разных системах отсчета

Обобщенные координаты в трехмерном вращении

Проделанная работа изменяется между системами отсчета?

Получение эффективной потенциальной энергии из лагранжиана системы двух тел [дубликат]

Общая форма для кинетической энергии с учетом потенциала, не зависящего от скорости, такого, что H=EH=E\mathcal{H}=E

Кинетическая энергия в лагражевой механике [дубликат]

Почему момент инерции должен быть линейным преобразованием?

Нужны ли нам инерциальные системы отсчета в лагранжевой механике?