Общая форма для кинетической энергии с учетом потенциала, не зависящего от скорости, такого, что H=EH=E\mathcal{H}=E

Question

Общая форма для кинетической энергии с учетом потенциала, не зависящего от скорости, такого, что H=EH=E\mathcal{H}=E

гарсердт216

Предположим, что потенциальная энергия не зависит от $\dot{q},$ то есть $\frac{\partial V}{\partial\dot{q}}=0$ . Какова наиболее общая форма кинетической энергии, при которой гамильтониан представляет собой полную энергию? Мои мысли таковы, что с тех пор $\frac{d\mathcal{H}}{dt}=0,$ Из этого следует

ЧАС "=" п \dot{д} - л "=" Е .

$\mathcal{H}:=p\dot{q}-\mathcal{L}=E.$ Для многих систем лагранжиан — это просто разница кинетической и потенциальной энергий, но я бы не стал делать здесь такое предположение. Как применить данное условие потенциала, не зависящего от скорости, чтобы сделать необходимые выводы?

Диракология

В классической механике достаточным условием

H = E

$H=E$ состоит в том, что система склерономна и потенциал не зависит от скоростей.

Селена Рутли

@Diracology ну, это новое слово для Scrabble, которого я никогда не знал! Я предполагаю, что это происходит от «σκληρός» для «жесткого / твердого», то есть неподвижного во времени, и его противоположность rheonomous от греческого слова «поток» (которое я не могу вспомнить, но это «рео..» что-то- или-другое, так как есть "реология" для механики жидкости).

Диракология

@WetSavannaAnimalakaRodVance Я искал происхождение слов склерономный и реономный, но не нашел. Ваше предположение очень разумно, и я благодарю за это!

Дэвид З.

@Diracology ваш первый комментарий, вероятно, должен был быть опубликован как ответ

Ответы (1)

Общая форма для кинетической энергии с учетом потенциала, не зависящего от скорости, такого, что H=EH=E\mathcal{H}=E

В классической механике достаточным условием $H=E$ состоит в том, что система склерономна и потенциал не зависит от скоростей.
@Diracology ну, это новое слово для Scrabble, которого я никогда не знал! Я предполагаю, что это происходит от «σκληρός» для «жесткого / твердого», то есть неподвижного во времени, и его противоположность rheonomous от греческого слова «поток» (которое я не могу вспомнить, но это «рео..» что-то- или-другое, так как есть "реология" для механики жидкости).
@WetSavannaAnimalakaRodVance Я искал происхождение слов склерономный и реономный, но не нашел. Ваше предположение очень разумно, и я благодарю за это!
@Diracology ваш первый комментарий, вероятно, должен был быть опубликован как ответ

Диракология · Answer 1

Если система склерономна и потенциал не зависит от обобщенных скоростей, то гамильтониан равен энергии.

Будучи склерономным, это означает, что в преобразованиях между декартовыми и обобщенными координатами нет явной временной зависимости, $\vec r_a=\vec r_a(q_1,\ldots,n)$ . В этом случае кинетическая энергия записывается в виде квадратичной формы

Т "=" \frac{1}{2} \sum_{я, Дж} А_{я Дж} (д) {\dot{д}}_{я} {\dot{д}}_{Дж},

$T=\frac12\sum_{i,j}A_{ij}(q)\dot q_i\dot q_j,$ которая является однородной функцией степени два от скоростей.

Так как потенциал не зависит от скорости, то

\sum_{я} {\dot{д}}_{я} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}} "=" \sum_{я} {\dot{д}}_{я} \frac{\partial Т}{\partial {\dot{д}}_{я}},

$\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}=\sum_i\dot q_i\frac{\partial T}{\partial\dot q_i},$ и по теореме Эйлера об однородной функции это равно

2 T

$2T$ . Поэтому,

ЧАС "=" 2 Т - (Т - В) "=" Т + В "=" Е .

$H=2T-(T-V)=T+V=E.$

верно ли и обратное? Другими словами, верно ли, что если $T=T_2$ (где $T_2$ часть кинетической энергии, однородная второй степени по скоростям), то система склерономна?

Общая форма для кинетической энергии с учетом потенциала, не зависящего от скорости, такого, что H=EH=E\mathcal{H}=E

гарсердт216

Диракология

Селена Рутли

Диракология

Дэвид З.

Ответы (1)

Диракология

grjj3

Определяют ли стационарные гамильтонианы замкнутые системы?

Независимость обобщенных координат и импульсов в гамильтоновой механике [дубликат]

Когда гамильтониан равен энергии системы?

Теория Гамильтона-Якоби: Дифференциация относительно. постоянная ЭЭЭ?

Характеристические и главные функции Гамильтона и отделимость

Когда гамильтониан и полная энергия совпадают

Почему гамильтонова механика четко определена?

Построение лагранжиана из гамильтониана

Гамильтониан сохраняется, но не является полной механической энергией

Когда гамильтониан системы не равен ее полной энергии?