Обобщенные координаты в трехмерном вращении

Ваша ошибка состоит в том, что вы предполагаете, что число ограничений равно$N(N-1)/2$. Это число верно только для$N\leq 4$.

Обозначим частицы через$1,2,\ldots,N$и скажи это$\bar{ij}$обозначает связь между частицами$i$и$j$. Для одной частицы ограничения нет. Для двух частиц существует одно ограничение (см. диаграммы ниже). Если$N=3$у нас есть три ограничения:$\bar{12},\bar{13},\bar{23}$. Добавьте четвертую частицу, и мы получим еще три ограничения:$\bar{14}$и$\bar{24}$зафиксировать расстояние от частицы$4$к частицам$1$и$2$и$\bar{34}$что запрещает четвертой частице вращаться вокруг оси, соединяющей$1$и$2$. Это фиксирует расстояние от$4$к$3$. Это дает в общей сложности шесть ограничений. Наконец, рассмотрите возможность добавления еще одной частицы. Теперь все становится иначе. Новые ограничения$\bar{15},\bar{25}$зафиксировать расстояние до$1$и$2$. Единственная свобода, которая остается у шестой частицы, — это вращение вокруг линии, соединяющей$1$и$2$. Поэтому еще одно ограничение, скажем$\bar{13}$, достаточно, чтобы жестко зафиксировать шестую частицу. Общее количество ограничений в этом случае равно шести.

Как видно из этой конструкции, первая частица добавила ноль ограничений, вторая добавила одно ограничение, третья добавила два ограничения и n-я ($n\geq 4$) один добавил три ограничения. Общее количество ограничений для$N\geq 5$поэтому частицы$1+2+3(N-3)=3(N-2)$. Следовательно, есть$3N-3(N-2)=6$степени свободы.