Каково мое состояние в контексте гамильтоновой механики?

Question

Каково мое состояние в контексте гамильтоновой механики?

Стиг

Я только начинаю изучать формулировки Лагранжа и Гамильтона (в настоящее время в главе 9 Гольдштейна), поэтому, пожалуйста, потерпите меня, если моя проблема слишком элементарна.

Я вижу смысл идти от $n$ обобщенные координаты $q_i$ и их скорости $\dot q_i$ в лагранжевой постановке к $2n$ координаты+импульсы $q_i, p_i$ в гамильтоновой формулировке, в том смысле, что

превращает $n$ уравнения Эйлера-Лагранжа второго порядка к $2n$ уравнения Гамильтона первого порядка
предоставляет механике язык канонических преобразований в качестве инструмента для упрощения уравнений путем преобразования таких преобразований, при которых импульсы/координаты становятся циклическими.
приводит к связи между симметриями и сохраняющимися величинами путем рассмотрения изменения гамильтониана при «активном» бесконечно малом каноническом преобразовании

Однако, в конце концов, нам нужен способ описания состояния системы как функции времени в заданном физическом контексте (описание потенциала, понимание того, как будут «выглядеть» наши обобщенные координаты и импульсы). с точки зрения нашей системы и начальных условий). В лагранжевой формулировке наше состояние просто $q_i(t)$ , $n$ координаты системы как функция времени. Однако в гамильтоновой формулировке мы получаем $2n$ траектории, $q_i(t)$ и $p_i(t)$ .

Импульсные траектории избыточны? Если это не так, то где при изменении формулировки наше пространство состояний увеличилось вдвое? Почему фазовое пространство важно для описания состояния?

Qмеханик

Комментарий к посту (v1): В лагранжевой механике состояние (в какой-то момент

t

$t$ ) является точкой в

(q (t), \dot{q} (t)) \in T M

$(q(t),\dot{q}(t))\in TM$ , не точка

q (t) \in M

$q(t)\in M$ в пространстве конфигурации.

Стиг

Я не очень хорошо разбираюсь в языке многообразий и касательных расслоений, но думаю, что понял вашу мысль. Тем не менее, я могу получить скорость

\dot{q} (t)

$\dot q(t)$ взяв производную от

q (t)

$q(t)$ в

t

$t$ , мне действительно не нужно

\dot{q} (t)

$\dot q(t)$ как отдельная "координата" для моего состояния.

Ответы (1)

Каково мое состояние в контексте гамильтоновой механики?

Комментарий к посту (v1): В лагранжевой механике состояние (в какой-то момент $t$ ) является точкой в $(q(t),\dot{q}(t))\in TM$ , не точка $q(t)\in M$ в пространстве конфигурации.
Я не очень хорошо разбираюсь в языке многообразий и касательных расслоений, но думаю, что понял вашу мысль. Тем не менее, я могу получить скорость $\dot q(t)$ взяв производную от $q(t)$ в $t$ , мне действительно не нужно $\dot q(t)$ как отдельная "координата" для моего состояния.

Qмеханик · Answer 1

ОП сравнивает $n$ -габаритные решения
$\begin{matrix} (1) & т \mapsto (д^{1} (т), \dots, д^{н} (т)) \end{matrix}$ $t~\mapsto~ (q^1(t), \ldots, q^n(t)) \tag{1}$ к уравнениям Лагранжа. в лагранжевом формализме с $2n$ -габаритные решения $\begin{matrix} (2) & т \mapsto (д^{1} (т), \dots, д^{н} (т), п_{1} (т), \dots, п_{н} (т)) \end{matrix}$ $t~\mapsto~ (q^1(t), \ldots, q^n(t),p_1(t), \ldots, p_n(t)) \tag{2}$ уравнениям Гамильтона. в гамильтоновом формализме и подумайте, как может быть биективное соответствие между двумя наборами решений?

Ответ: Чтобы правильно оценить количество решений, мы должны подсчитать количество констант интегрирования. Это одинаково в обоих случаях, а именно $2n$ .
Наконец, давайте обратимся к заглавному вопросу OP (v2):
1. В лагранжевой механике мгновенное состояние системы (в некоторый момент $t_0$ ) это точка $(q(t_0),v(t_0))\in TM$ .
2. В гамильтоновой механике мгновенное состояние системы (в некоторый момент $t_0$ ) это точка $(q(t_0),p(t_0))\in T^{\ast}M$ .
Заметим, что существует биективное отображение между мгновенными состояниями системы (в некоторый момент $t_0$ ) и начальные условия системы (где $t_0$ это начальный момент).
Наконец, ОП спрашивает, являются ли обобщенные скорости $v^1, \ldots,v^n$ , независимые переменные или нет? Это, например, объясняется в моем ответе Phys.SE здесь .

Пара пояснений: 1. В лагранжевой механике, если бы наше состояние было вместо этого $q(t) \in M$ , мы могли бы получить $v(t) = \dot q(t)$ . Я согласен, что нам нужно, чтобы наши начальные условия были $\left(q(0), v(0)\right) \in TM$ , но как только мы решили для $q(t)$ , почему мы по-прежнему явно нуждаемся $v(t)$ ? 2. В том же ключе, хотя связь между $p(t)$ и $q(t)$ не так прямолинейно в гамильтоновом формализме, мы имеем $\dot q(t) = \frac{\partial H}{\partial p}$ , который обратим. Поскольку мы можем получить $p(t)$ от $q(t)$ , зачем нам нужно, чтобы наше состояние было в $T^{\ast}M$ ?
Спасибо за ответ, который вы связали, который внес немного больше ясности. Однако я до сих пор не понимаю, зачем нужны импульсные траектории или траектории скоростей, если уж на то пошло, после того, как мы решили уравнение движения и получили $q(t)$ .

Каково мое состояние в контексте гамильтоновой механики?

Стиг

Qмеханик

Стиг

Ответы (1)

Qмеханик

Стиг

Qмеханик

Стиг

Почему ppp и qqq являются независимыми переменными в гамильтоновом формализме?

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Определяют ли стационарные гамильтонианы замкнутые системы?

Независимость обобщенных координат и импульсов в гамильтоновой механике [дубликат]

Обобщенные координаты в трехмерном вращении

Чем полезен принцип Мопертюи?

Голономные ограничения и степени свободы

Насколько распространена теорема Нётер в классической механике?

Почему мы не можем получить гамильтониан подстановкой?