Почему мы можем предполагать независимые переменные при использовании множителей Лагранжа в неголономных системах?

Я изучаю классическую механику Гольдштейна , 3-е издание. В разделе 2.4 он обсуждает неголономные системы. Предположим, что ограничения можно представить в виде

(2.20) ф α ( д , д ˙ , т ) "=" 0 , α "=" 1 … м .
Тогда также считается, что
(2.21) ∑ λ α ф α "=" 0.
Используя принцип Гамильтона (т. е. действие должно быть стационарным), мы получаем, что

(2.22) дельта ∫ 1 2 л   г т "=" ∫ 1 2 г т   ∑ к "=" 1 н ( ∂ л ∂ д к − г г т ∂ л ∂ д к ˙ ) дельта д к "=" 0 .

Но мы не можем получить отсюда уравнения Лагранжа, потому что дельта д к не являются независимыми. Однако, если мы добавим это с ∑ λ α ф α "=" 0 , следует, что

(2.23) дельта ∫ т 1 т 2 ( л + ∑ α "=" 1 м λ α ф α )   г т "=" 0.

И тогда Гольдштейн говорит, что

Теперь вариацию можно выполнить с помощью н дельта д я и м λ α для м + н независимые переменные.

Почему переменные вдруг стали независимыми? Сначала у нас было н зависимые переменные, почему мы теперь имеем м + н независимые?

Ответы (1)

Пусть будет н координаты д Дж . Рассмотрение неголономных связей в [1]. 1 является некачественным по разным причинам, см., например, этот и этот связанные посты Phys.SE. Однако мы интерпретируем вопрос ОП (v2) как в основном касающийся подсчета независимых степеней свободы в системах с ограничениями, а не столько о неголономных ограничениях как таковых. Поэтому, чтобы получить интуицию, давайте для простоты просто рассмотрим м голономные ограничения

(А) ф α ( д )   "="   0 ,

где м ≤ н (и где мы опустили возможную явную зависимость от времени в обозначениях). При некоторых предположениях о регулярности мы, в принципе, можем решить м ограничения (A) локально так, что координаты

(Б) д Дж   "="   г Дж ( ξ , ф )

стать функциями н − м независимые физические координаты ξ а , и м координаты ф α , таким образом, чтобы локально н − м размерная ограничивающая поверхность

(С) { д е р н | ф ( д ) "=" 0 }

параметризован как

(Д) { г ( ξ , ф "=" 0 ) е р н | ξ е р н − м } .

Таким образом, мы имеем как минимум две эквивалентные вариационные формулировки:

  1. Сокращенный формализм: заменить д Дж с г Дж ( ξ , ф "=" 0 ) в действии С [ д ] . Варьировать соответствующее действие С [ ξ ] относительно в н − м независимые переменные ξ а .

  2. Расширенный формализм: заменить действие С [ д ] с

    (Э) С [ д , λ ] "=" С [ д ] + ∫ г т   λ α ф α ( д ) .
    Варьировать соответствующее действие С [ ξ , λ ] относительно в н + м независимые переменные д Дж и λ α .

Роль м Множители Лагранжа λ α можно рассматривать как введение м переменные ф α "=" 0 , так что только н − м физические переменные ξ а остается, и формулировка (2) сводится к (1).

Использованная литература:

  1. Г. Гольдштейн, Классическая механика, 3-е изд.; Раздел 2.4.
Почему мы можем предполагать независимые переменные при использовании множителей Лагранжа в неголономных системах?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v