Что значит применить оператор к состоянию?

Кажется, что вопрос ОП возникает, потому что он предполагает, что состояние$|\psi\rangle$нормализуется _ $\langle\psi |\psi\rangle=1$на всех этапах разработки квантово-механического языка.

Позволять$H$быть гильбертовым пространством. Обратите внимание, что множество

Лучше всего предположить, что государство$|\psi\rangle$просто нормализуется

с неявным предположением, что, когда кто-то хочет вероятностную интерпретацию, он должен нормализовать $|\psi\rangle$через стандартную процедуру:

так что

Итак, чтобы ответить на вопрос ОП, в элементарной версии$^1$квантовой механики, состояние - это (кет) элемент$|\psi\rangle$гильбертова пространства$H$. В частности, это нормализуемый элемент. Observable — это линейные эрмитовы операторы$\hat{A}:H\to H$который переводит состояния в состояния. Ожидаемое значение $\langle\hat{A}\rangle$наблюдаемого$\hat{A}$в штате$|\psi\rangle$затем

Что касается подвопроса об измерениях в квантовой механике и коллапсе волновой функции , предлагаю сначала заглянуть в Википедию, а если нужно, то задать более конкретный вопрос.

--

$^1$Версия, которая игнорирует ненормализуемые состояния и неограниченные линейные операторы .

Ваша попытка обобщить вектор состояния, придав ему повседневный жизненный смысл, вероятно, является причиной того, что вы не можете понять более абстрактную ситуацию, преобладающую в КМ.

$A|\psi\rangle$это просто изображение вектора$|\psi\rangle$под оператором$A$. Тоже не надо$|\psi\rangle$или его образ есть состояние в смысле нормализованности. Это просто элементы гильбертова пространства (или, иногда, ненормируемые слабые пределы таких состояний).

Также нет необходимого отношения к измерению. Интерпретация реалистического измерения — дело достаточно сложное, и хрестоматийный рецепт (правило Борна) применим только к простейшим или очень идеализированным ситуациям.

Я думаю, вы можете быть введены в заблуждение концепцией, которую мы связываем$\textbf{observables}$к самосопряженным операторам. Они действуют в гильбертовом пространстве, но рассматривать их как объекты, преобразующие состояния или подготавливающие их, немного сложно. Я опишу здесь самосопряженные операторы и подготовку состояний.

1) Истинная (физическая) сила самосопряженных операторов для описания наблюдаемых заключается в спектральной теореме, а не в ее$\psi \mapsto A\psi$действие. Физически, что это значит? Существует множество, называемое спектром наблюдаемой, и это множество возможных результатов по ее мере для заданных состояний. Например, наблюдаемый спин$S$на 1/2-спиновой системе имеет спектр$\sigma(S) = \{-1/2,+1/2\}$, и разлагается как сумма его спектральных проекций,$S = +1/2 P_{+} -1/2 P_{-}$. В общем, есть спектральное разрешение$E$, то есть связка проекций, связанных со спектром, такая, что оператор можно записать в виде$A = \int_{\sigma(A)}\lambda dE(\lambda)$.

А что такое спектральные проекции? Это снова (самосопряженные) операторы, но весь набор спектральных проекций даст вам меру вероятности в сочетании с состоянием. В примере со спиновой системой, если вы возьмете состояние$\psi$, затем$\langle\psi, P_+\psi\rangle$даст вам вероятность измерения вращения +1/2, а также для -1/2.

Теперь предположим, что у вас есть 1/2-спиновая система с подготовленным состоянием.$\psi$, и вы измеряете вращение, и получаете +1/2. После измерения ваше состояние рушится до$|+1/2\rangle$государство.

В более подробном формализме предположим, что вы подготовили состояние$\psi$и вы собираетесь провести измерение наблюдаемой, выраженной как$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dE(\lambda)$(где$E$— это спектральное разрешение вашего оператора, просто подумайте о примере с 1/2 спина интуитивно). Затем предположим, что ваше измерение относится к подмножеству$\Lambda \subset \sigma(A)$(вы можете подумать о наборе$\{+1/2\} \subset \{-1/2,+1/2\}$. Ваше состояние$\psi$затем схлопывается до следующего состояния$\phi$:

$\psi \rightarrow \phi = \frac{E(\Lambda)\psi}{\|E(\Lambda)\psi\|}.$

(заметить, что$\phi$нормализовано и корректно определено, так как$E(\Lambda)\psi=0$то вероятность исхода в$\Lambda$будет нулевым для начала).

Подводя итог, вы не просто применяете самосопряженный оператор к состоянию, так как, как вы видели, это не имеет большого значения. Этому моменту большинство вводных книг по МК не уделяют столько внимания, сколько мне бы хотелось. Что происходит с измерениями, коллапсами и прочим, как я пытался указать, больше использует спектральные проекции, чем сам оператор. Итак, как вы сказали о своем гамильтоновом операторе, он не действует как ваша машина для приготовления сиропа, которую мы попытаемся скрыть дальше.

2) Теперь то, что вы описываете как «инструменты», в вашем примере, нанесение сиропа, не является измерением как таковым, это подготовка состояний, которая захватывает состояние без сиропа и кладет в него сироп. Моделирование такой процедуры обычно игнорируется, по крайней мере, насколько мне известно.

Одним из вариантов было бы просто сказать «мое состояние сейчас такое syrup», конец обсуждения.

Другой вариант — использование унитарных операторов ($U$такой, что$UU^* = U^*U = 1$). Они преобразуют векторы состояния в векторы состояния.

Если вам нужны более изощренные примеры, это становится запутанным, и я заткнусь, прежде чем скажу что-то очень неправильное. Но будьте уверены, это совсем не просто, и ваш вопрос действительно приятный. Надеюсь увидеть другие вдохновляющие ответы.

Очень классный пример возник, когда мы с моим другом обсуждали систему со спином 1/2. У меня были некоторые проблемы, и оказалось, что точно такое же недоразумение, с которого началась эта тема, привело меня к действительно странным результатам:

Я напишу$S_x, S_y$и$S_z$для канонических компонент оператора спина и$|S_i; \pm\rangle$для его собственных векторов, т.е.$S_y \lvert S_y; -\rangle = -\frac{\hbar}{2}\lvert S_y; -\rangle$. Для краткости пишем$\lvert \pm \rangle = \lvert S_z; \pm\rangle$

Для дальнейшего использования напоминаем

Хорошо, вот что я подумал:

Предположим, у нас есть электрон, который определенно находится в состоянии$\lvert + \rangle$(возможно, мы получили это из эксперимента Штерна-Герлаха). Затем мы пропускаем его через другой эксперимент Штерна-Герлаха, ориентированный на$x$-направление. Я подумал: «Это означает применение$S_x$оператора, верно?", так что мы получили

в$z$-базис, последний член эквивалентен

Следовательно, если мы сопоставим этот результат с третьим экспериментом Штерна-Герлаха, на этот раз снова в$z$-направление, мы обязательно сбавим обороты. Это означает, что последовательность последующих экспериментов с SG заменит начальное вращение вверх на вращение вниз.

Конечно, это прямо противоречит как теории, так и экспериментальным данным. Дело именно в том, что обсуждалось в этой ветке: Цитирую Юля сверху:

Истинная (физическая) сила самосопряженных операторов для описания наблюдаемых заключается в спектральной теореме, а не в ее$\psi \mapsto A \psi$действие

Это ошибка думать о$S_z$как применение процесса измерения. Результат SG фактически определяется спектром.

Зафиксировав эту мысль, мы получим следующее: Наш начальный$\lvert + \rangle$можно записать как$\lvert + \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \lvert S_x;+ \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} \lvert S_x;- \rangle$. Измерение$S_x$затем выберет одно из «вращений вверх» и «вращений вниз» с равной вероятностью, скажем,$\lvert S_x;- \rangle$. Это снова может быть представлено в$S_z$базовые наборы, так что мы получаем еще 50-50 шансов для вращения вверх и вниз по отношению к$z$.

Надеюсь, что моя ошибка поможет и другим ученикам. Спасибо, Паскаль, за то, что раскрыл мне ключевой момент (также ссылаясь на эту ветку).