Почему сечения нейтрино и антинейтрино различны?

«Легко» показать, что сечение двух реакций:

$$(1)~~~\nu_{\mu} + d \to \mu^- + u~~~~~~(2)~~~\bar{\nu}_{\mu} + u \to \mu^+ + d$$ разные. Наивный расчет дает множитель $\sigma_1/\sigma_2 = 3$как показано ниже. Тот факт, что цифра в группе данных о частицах дает на самом деле почти множитель 2, должен учитывать структурную функцию нуклона.

Итак, давайте сначала проверим фактор 3 и объясним, почему: пренебрегая всеми массами фермионов, таким образом предполагая, что энергия достаточно велика, но все же пренебрежимо мала по сравнению с$W$бозонов, амплитуды двух процессов:

$$\mathcal{M}_1=\frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bar{u}_u \gamma^{\mu}(1-\gamma^5)u_d][\bar{u}_{\mu} \gamma_{\mu} (1-\gamma^5)u_{\nu}]$$ $$\mathcal{M}_2=\frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bar{u}_d \gamma^{\mu}(1-\gamma^5)u_u][\bar{v}_{\nu} \gamma_{\mu} (1-\gamma^5)v_{\mu}]$$ где $G_F$- константа связи Ферми и $u$, $v$спиноры для частиц и античастиц. Угол Кабиббо не учитывался ( $\cos \theta_c =1)$. Различия между двумя амплитудами связаны с наличием антиспиноров в $\mathcal{M}_2$вместо спиноров, как в $\mathcal{M}_1$. Во-первых, обратите внимание, что для антиспиноров входящая античастица появляется в левой части графика. $\gamma^\mu$матрица, в то время как для спиноров входящая частица находится справа. Это будет источником $u$Переменная Мандельштама, возникающая после возведения в квадрат/усреднения амплитуды $\mathcal{M}_2$ниже. Во-вторых, и это главное, $(1-\gamma^5)$является проектором хиральности (по модулю множителя 2). Это это $(1-\gamma^5)$матрица, отвечающая за киральный характер слабого взаимодействия. Применительно к спинору он выбирает хиральные левые частицы, а при применении к анти-спинору выбирает хиральные правые античастицы. Мы увидим последствия несколькими строками ниже.

Возведение амплитуд в квадрат, усреднение по спину исходного кварка и суммирование по спинам уходящего кварка и лептона дает:

$$|\overline{\mathcal{M}}_1|^2 = 16 G_F^2 s^2$$ $$|\overline{\mathcal{M}}_2|^2 = 16 G_F^2 u^2$$ где $s$и $u$две переменные Мандельштама. (обозначая $p_1,p_2$4 импульса 2 частиц в начальном состоянии и $p_3,p_4$те из 2 частиц в конечных состояниях, мы имеем $s=(p_1+p_2)^2$и $u=(p_1-p_4)^2$). Используя известную формулу для дифференциального сечения $\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{1}{64\pi^2 s} |\overline{\mathcal{M}}|^2$(справедливо в нашем безмассовом приближении, $\Omega$являющийся телесным углом в центре масс рамы) дает: $$\frac{d\sigma_1}{d\Omega}= \frac{G^2_F}{4\pi^2}s$$ $$\frac{d\sigma_2}{d\Omega}= \frac{G^2_F}{4\pi^2}\frac{u^2}{s} = \frac{G^2_F}{16\pi^2}s(1+\cos\theta)^2$$ с $\theta$угол в центре масс рамы между $\bar{\nu}_{\mu}$и $\mu^+$. На этом этапе мы можем лучше оценить киральную структуру слабого взаимодействия. Действительно, слабое взаимодействие (через заряженный ток, т.е. $W$обмен бозонами) включает только левостороннюю хиральность частиц и правостороннюю хиральность античастиц. В безмассовом приближении хиральность эквивалентна спиральности, проекции спина вдоль направления импульса. Вы можете заметить, что для $\theta=\pi$, $\frac{d\sigma_2}{d\Omega}=0$. Это связано с этой хиральной структурой. Действительно $\bar{\nu}_{\mu}$должен быть правшой и $u$кварк левый. Таким образом, в системе центра масс спины этих двух частиц имеют одинаковое направление (поскольку они расположены спиной к спине), что дает проекцию на $z$ось $s_z=1$(или -1 в зависимости от вашего выбора). По закону сохранения углового момента $s_z$конечного состояния также должно быть $s_z = 1$. Но с углом $\theta=\pi$, это означает, что $\mu^+$идет в противоположном направлении $\bar{\nu}_{\mu}$. Так как он имеет то же самое $s_z$он должен быть левосторонним (поскольку $\bar{\nu}_{\mu}$был правшой). Но в слабом взаимодействии участвуют только правые компоненты античастичного взаимодействия. $\mu^+$. Таким образом, эта конфигурация не может быть обязательно возможной для объяснения нулевого поперечного сечения под этим углом! Мы ясно видим разницу между двумя реакциями на этом этапе. Мы можем пойти немного дальше и проинтегрировать по телесному углу, получив: $$\sigma_1 = \frac{G^2_F}{\pi} s$$ $$\sigma_2 = \frac{G^2_F}{3\pi} s$$ Таким образом, мы имеем объявленный фактор 3 для отношения поперечных сечений на кварковом уровне. Переход от кварка к нуклону немного сложен, и я привожу здесь только результат, предполагая, что мишень состоит из такого же количества протонов, как и нейтронов: $$\sigma_{\nu N} = \frac{G^2_F}{\pi}\frac{s}{2}\int_0^1 x(q(x)+\frac{\bar{q}(x)}{3})dx$$ $$\sigma_{\bar{\nu} N} = \frac{G^2_F}{\pi}\frac{s}{2}\int_0^1 x(\bar{q}(x)+\frac{q(x)}{3})dx$$ функция $q(x)$и $\bar{q}(x)$являющаяся функцией распределения партонов (PDF) кварка и антикварка. Вы должны принять во внимание кварки и антикварки, приходящие из моря (квантовые флуктуации) внутри нуклона. PDF должен быть измерен. Известно (измерено), что около половины импульса протона переносится кварками (другая половина - глюонами), а это означает, что $\int_0^1 x(q(x)+\bar{q}(x)) dx= 0.5$. Индивидуальный вклад кварков и антикварков в импульс протона составляет примерно: $$\int_0^1 x q(x) dx = 42\%~~~~~ \int_0^1 x \bar{q}(x) dx = 9\%$$ Результат приведенных выше интегралов таков, что отношение 2 сечений довольно близко к 2 (вместо 3 на кварковом уровне).