Почему соотношения частот нот в пифагорейских гаммах 9/8 и 256/243?

Если фактор 3/2 охватывает более 7 полутонов, соотношение между каждым соседним полутоном должно быть x^7 = 3/2или x = (3/2)^(1/7).

Это верно, если все полутона имеют одинаковый размер, но этого не может быть, если вы хотите использовать чистые квинты, а также замкнуть квинтовый круг на стандартной 12-тональной клавиатуре. ¹

Пифагорейская настройка не является иррациональной системой. Полутона в пифагорейской настройке не являются (геометрической) седьмой частью 1,5. Скорее, каждый тон находится с соотношением 3/2, с поправкой на октаву, где это необходимо, по кругу квинт. Таким образом, C к G составляет 3: 2, G к D составляет 3: 2, а C к D составляет 9: 4. Однако это большая девятая, которая больше октавы, поэтому деление на 2 для получения большой секунды дает 9:8. А находится путем повторного умножения на 3:2, т. е. 27:16, а Е находится путем повторного умножения на 3:4, т. е. 81:64. Продолжайте, и в конце концов вы получите B♯, что не то же самое, что C, со значением 3 ¹² :2 ¹⁷ .

Попутно вы нажмете C♯ в 3 ⁷ :2 ¹¹ , и если вы уравняете это, вы получите C-дабл-диез в 3 ¹⁴ :2 ²² , что не то же самое, что D в 9:8. Чистая пифагорейская система не замыкает круг квинт; это скорее спираль.

Если вы используете свой подход к делению квинты от C до G на семь равных полутонов, то квинта между G и D имеет соотношение не 3:2, а 1,497. Это на волос меньше (около 3,35 цента), чем пифагорейская квинта.

Сноска 1: вы можете сделать все полутона равными, если вы разделите октаву на 12 равных частей, конечно, что является двенадцатитоновой равной темперацией, но тогда квинты будут немного меньше, чем 3:2.

Здесь есть несколько разных проблем. Как отмечает phoog, пифагорейцы любили рациональные числа. Для них «иррациональные числа» (например, различные корни из 2 или 3/2) были, ну… иррациональными .

Phoog также отмечает, что вы сталкиваетесь с проблемой, когда складываете кучу идеальных пятых вместе. Если вы используете соотношение 3:2 и проходите 12 идеальных квинтов, вам теоретически нужно добавить до семи октавных соотношений 2:1, чтобы «круг квинт» замкнулся. Но это не так. Никакая степень 3:2 не даст вам мощности 2:1.

Вопрос предполагает, что это соотношение 3: 2 является абсолютным, а не октавой 2: 1, но это все еще создает проблемы при настройке шкал.

Что касается причины , по которой пифагорейские гаммы обычно имеют определенные отношения, упомянутые в вопросе (9: 8 и 256: 243), то это связано с древнегреческим методом получения гамм, который был основан на чистых четвертях, с соотношением сторон 4:3. У греков было много способов разделить кварту на разные ноты. Но один «диатонический» способ заключался в использовании «целых тонов», которые обычно настраивались на соотношение 9:8. Почему 9:8? Потому что 9:8 — это разница между идеальной квинтой 3:2 и идеальной четвертой 4:3. (Поделите 3/2 на 4/3, и вы увидите это.)

Таким образом, при разделении идеальной четверти один из способов сделать это — использовать два целых тона 9:8. Но тогда последний интервал, который у вас получится, будет примерно полутоном. Фактическое соотношение, необходимое для завершения идеальной четверти 4: 3, можно найти, убрав два целых тона. Таким образом, 4/3 разделить на 9/8, разделить на 9/8, получится 256/243. Отсюда и другое соотношение.

Вопрос предполагает, что все полутона имеют одинаковый размер. Это не было предположением в Древней Греции, хотя это предположение в современном равном темпераменте. Вместо этого греки начинали с настройки важных интервалов, таких как октава 2:1, пятая часть 3:2 и четвертая часть 4:3. Затем они заполняли «пробелы», как обсуждалось выше.

Чтобы найти (иррациональные) отношения для современной 12-тональной равнотемперированной гаммы, вам нужно разделить соотношение октав (2:1) на 12 частей, следовательно, 2 1/12: ¹ . Это даст вам правильное равнотемперированное соотношение полутонов, хотя обратите внимание, что семь из них также не дадут вам точного соотношения 3:2 по причинам, изложенным в моих первых парах абзацев.

В основе проблем с настройкой лежит важная математическая теорема. В итоге "идеального" тюнинга не бывает. Теорема состоит в том, что не существует степени числа 2, равной степени числа 3 (за исключением нулевой степени, которая равна 1 в обоих случаях). На самом деле нет степеней простых чисел, равных друг другу, за исключением P^0=1. На самом деле не существует степеней простых чисел, близких друг к другу, кроме 8 и 9.

Это означает, что ни одна стопка квинт не будет равна какой-либо стопке октав (замените октавы или квинты на терции, сексты и т. д.).

Пифагорейский строй работает со стеками квинт с соотношением 3/2. Две квинты, сложенные вместе, дают 9/8 (сокращение интервалов до 1 и 2 за счет октавного эквивалента, когда это уместно), что дает большую секунду (CG и GD дают CD). Сложение 2 больших секунд дает 81/64 для пифагорейской большой терции; однако «просто» большая треть должна быть 5/4. Разница слышна и становится хуже с другими интервалами. Даже добавление соотношения 5/4 к «базовым» соотношениям точно не поможет. Гитара настроена EADGBE (3 четверти, треть и четвертая, что должно дать 2 октавы). Четвертая - это дополнительный интервал к пятой с соотношением 4/3 (обратное 3/2, уменьшенное до между 1 и 2). На слух (прослушивание долей) можно легко настроить и кварту, и терцию, то два ми расстроены. Математически,4/3*5/4*4/3=320/81, но две октавы должны быть 4/1 (или 320/80). (Кстати, одного из моих гитаристов с абсолютным слухом это раздражало при попытке настройки.)

Так идут компромиссы, уступая всему полю темперамента. Равная темперация решает проблемы одинаковой обработки интервалов, но может не дать хороших интервалов.

Если использовать следующую последовательность соотношений интервалов для мажорной гаммы, произведение соотношений на самом деле дает в сумме 2:1 — 9:8, 10:9, 16:15, 9:8, 9:8. , 10:9, 16:15. Эти большие и малые секунды на самом деле могут быть получены либо из Пифагора, либо из обертонов. Используя шкалу C, 9:8 — это D:C, 10:9 — это E:D, 16:15 — это полутон C:B, и у вас есть нижний тетрахорд. Соедините его с верхним тетрахордом другим 9:8 и, вуаля! интервалы, которые в сумме составляют идеальную октаву.