Находится ли доминирующий тон мажорной гаммы посередине по частоте между тоникой и октавой?

Да, это правда ^† . Например,

• А3: 220 Гц
• А4: 440 Гц
• E4: 330 Гц ≡ (220 Гц + 440 Гц)/2 ^‡

Однако я не думаю, что это может удовлетворительно объяснить, почему доминант действует, ну, доминант .

• Сам тон Ⅴ фактически содержится и в тоническом трезвучии, и там он явно не вызывает побуждения разрешить его на Ⅰ или еще куда-то. На самом деле, я осмелюсь сказать, потому что оно такое согласное , оно не действует как доминанта...
• ... если вы не добавите дополнительные ведущие тона. Доминантный аккорд содержит как минимум терцию (с высокой интонацией), которая ведет к октаве тоники. Он очень часто содержит еще и семерку (иногда «доминантный аккорд» и «доминант-септаккорд» считаются синонимами!), и это диссонанс, который настоятельно предлагает решить его.
• Этот эффект все еще работает, когда тон Ⅴ даже не является частью аккорда, как показано на примере уменьшенных септаккордов .

^† _{По крайней мере, в аналитическом смысле. Как отмечает Дэйв , наши уши на самом деле воспринимают высоту тона скорее логарифмически, чем линейно, и в логарифмической шкале Ⅴ находится дальше, чем на полпути между Ⅰ и его октавой.}

^‡ _{Цифра 330 Гц получена только из интонации , то есть пифагорейской квинты. JI является концептуальной основой почти всей западной гармонии до атональности. Многие инструменты приближают JI к системе настройки 12-edo , в которой квинта определяется как 2 ^{7 ⁄ 12} вместо ³ ⁄ 2 ; получается почти то же самое: 12-edo E4 составляет 329,628 Гц, т.е. в пределах 0,5 Гц от 330 Гц. Эту разницу можно заметить только при наложении обеих частот в течение нескольких секунд и прослушивании ритма ., но не при последовательном прослушивании тонов. Таким образом, для вопроса о том, находится ли квинта в середине октавы, не имеет значения, говорим ли мы о квинте Дзи или о 12-эдо.}

Я просто предоставлю некоторый исторический контекст для этого вопроса, в частности, почему «доминантная» нота впервые стала заметной в гаммах. Это как-то связано с идеей «точки на полпути», но это немного сложнее.

Вернемся к Древней Греции и к пифагорейцам. Они любили математику и создали математику пропорций отчасти для создания теории музыки. Они также придумали несколько способов измерения среднего (что-то вроде середины ) между двумя числами. Три основных пути до сих пор известны как пифагорейские средства .

Предположим, у вас есть строка длиной 12 единиц, и вы делите ее пополам. Если вы перехватите 6-звенную струну, а затем всю 12-звенную струну, они будут звучать на расстоянии октавы друг от друга, при этом более длинная струна будет иметь удвоенную длину и, следовательно, половину частоты. (У греков не было возможности напрямую измерить частоту, поэтому они могли оперировать только длиной струн.)

Хорошо, допустим, вы хотите найти середину или «середину»/среднее значение между этими двумя нотами и длинами их струн. Пифагорейские средства давали три возможности:

1. Среднее арифметическое . Это то, что мы сейчас обычно называем «средним», когда вы просто складываете два числа вместе и делите на 2. В этом случае вы выполняете (12+6)/2 и в итоге получаете 9. (Я должен отметить в Во всех этих случаях я объясняю современный алгебраический метод вычисления средних; у греков были более интуитивные способы сказать, как числа соотносятся друг с другом, что было бы сложнее объяснить здесь.) самая низкая нота (12:9 = 4:3) и идеальная квинта между средней и высокой нотой (9:6 = 3:2).
2. Гармоническое среднее . Для греков это часто было ключевым для музыкальных интервалов (отсюда термин «гармонический», который до сих пор используется в математике). В этом случае вы берете обратные значения двух чисел, находите их среднее значение, а затем снова берете обратное значение. Итак, в этом случае [(12 ^-1 +6 ^-1 )/2] ^-1 . Это дает число 8, которое создает идеальную квинту над нижней нотой (12:8 = 3:2) и чистую кварту между двумя верхними нотами (8:6 = 4:3). В некотором смысле это самое раннее происхождение концепции доминирующей ноты как важного шага или интервала, помещенного в гамму.
3. Среднее геометрическое. В большинстве случаев пифагорейцам это не нравилось. Говоря современным математическим языком, вы умножаете два числа и извлекаете квадратный корень. Следовательно, здесь вы получаете sqrt[12*6] = 6*sqrt(2), что примерно равно 8,485. Для пифагорейцев этого числа на самом деле не существовало — оно было буквально иррациональным . Но некоторые древние математики видели музыкальную полезность этого типа средней или средней точки , буквально разделяющей интервал на два равных интервала. Говоря современным языком, это разделило бы октаву на два тритона.

С современными отношениями частот средства работают немного в обратном направлении от того, что они делают с длинами строк. Таким образом, среднее арифметическое двух частот, отстоящих друг от друга на октаву, определяет доминанту, а среднее гармоническое определяет чистую кварту над нижней нотой. (Поэтому ответ на вопрос в заголовке — ДА, доминанта — это среднее арифметическое частот.) Тем не менее, они, по сути, служат двумя типами «средств» (т. е. середин) между конечными нотами в интервале. Среднее геометрическое частот по-прежнему создает тритон.

Перенесемся на 1500 лет вперед. Теоретики средневековой музыки любили классифицировать гаммы для песнопений, и они признали эту структуру, установленную древними греками, строящими квинты и четверти с использованием различных средств. Таким образом, октавы классифицировались с использованием «видов», которые обычно делили их на квинты и четверти. Ноте на пятую или четвертую выше финальной (финальная была своего рода «домашней нотой») в песнопениях часто придавалось особое значение. В более ранней теории ей иногда давали название « тенор » (от латинского tenere — «удерживать»), поскольку это была нота, которую обычно подчеркивали и удерживали, в отличие от последней ноты. Позже эти ноты стали известны как доминирующие., и в конце концов в 18 веке они были разделены на две категории: доминанта (совершенная квинта) и субдоминанта (совершенная четвертая выше тоники). (Здесь я пропускаю многие детали.)

К этому моменту доминирующая нота также приобрела гармонические функции, выходящие за рамки ее критической роли в построении гаммы и мелодии. В частности, он служил стабильной гармонией для ведущих тонов, которые в средневековье стали известны для резолюций в каденциях. Вероятно, поэтому квинта превзошла четвертую и стала « доминантной» нотой в теории музыки.

Тем не менее, основная причина, по которой эта нота изначально была помещена в гамму и ей уделялось особое внимание, восходит к древней концепции «средства» и различным способам определения своего рода средней точки в октаве при настройке интервалов на струнах.

(Обратите внимание на настройку, так как недавно были некоторые комментарии по этому поводу: вопрос не определяет JI против ET, поэтому я даже не собираюсь идти по этому пути обсуждения здесь. Исторически сложилось, что доминирующая концепция возникла со ссылкой на Квинты JI.ET настолько близки, что практически неразличимы в большинстве случаев.)

С одной стороны, можно сказать, что идеальная квинта находится на полпути между тоникой и октавой. Отношение по частоте 3:2 , что эквивалентно 1,5:1. На первый взгляд это выглядит как полпути. Это очень простой и согласный интервал. Но не совсем держит. Две идеальные квинты - это не октава, а девятка! Истинный средний интервал - это тритон / увеличенная четвертая / уменьшенная квинта, поскольку два из них, сложенные друг с другом, равны октаве. Математически при одинаковой темперации отношение тритона равно 2 ^ (1/2): 1 или примерно 1,415: 1. Здесь вы уже видите, что, возведя его в квадрат, вы получите 2, то есть соотношение частот октавы. Нет, это не такое красивое звучание, по крайней мере, не в западной культуре. Что есть, то есть.

В некотором смысле равнотемперированная (ET) увеличенная 4-я или уменьшенная 5-я является «серединой» октавы. Обратите внимание, как на фортепианной клавиатуре, если вы переместитесь на 6 полутонов вверх, а затем еще на 6, вы доберетесь до клавиши, которая находится на октаву выше исходной точки. Это связано с тем, что мы воспринимаем разницу в высоте логарифмически. В смысле восприятия отношение между A2 и D#2 такое же, как отношение между D#2 и A3 (в равной темперации), в то время как интервал от A2 до E2 перцептивно отличается от интервала между E2 и A3.

Что касается числовых причин, другие комментарии ответили.

Что же касается функции доминанты, то как трезвучие от V ступени звукоряда тона способствуют созданию мощной «ведущей» силы к тонике...

Пример в тональности C:

Корнем доминанты является соль, которая тянется к тонике, а не из-за индивидуальных гармонических отношений, поскольку соль содержится в тонике до и, как отмечено в приведенных выше ответах, очень согласна из-за своего соотношения. Тем не менее, притяжение создается ожиданиями слушателей музыки из-за его исторической и повсеместной частоты во всей западной музыке. Нота тянется не из-за нестабильности, а только из-за ожидания слушателя.

Третью доминанты является си, которая очень нестабильна, схлопывается на тонике, так как является ближайшей нотой (си->до - полушаг), и наиболее сильными диссонансно-согласными отношениями в близости (мажорная 7-я -> унисон). [Обратите внимание, что тональность аккорда vii также демонстрирует это отношение, но оно смягчается функцией B как корня аккорда vii.]

Квинта доминанты — D, что является своеобразным случаем. D - это равное расстояние между C и E, поэтому для разрешения любого из них потребуется одинаковое расстояние. Однако, когда предоставляется выбор между полностью согласным разрешением (D->C) и частично согласным разрешением (D->E), требуется меньше усилий и разрешается больше диссонанса в движении D->C. Кроме того, симметричное движение B->C способствует менее сильному разрешению, добавляя больше созвучия. Наряду с этими функциональными причинами применяется и историческая причина, упомянутая при обсуждении основного примечания.

Учитывая вышеупомянутые голосоведущие и исторические (ожидаемые) причины, доминантный аккорд продолжает функционировать (и укрепляться) в своей роли предшественника разрешения тоники.

Доминанта не находится «на полпути» между тоникой и октавой в «равнотемперированном» строе. Здесь под «не наполовину» я подразумеваю, что частота доминанты не в 3/2 раза больше частоты тоники (в настройке «равнотемперированного»). Если бы это было действительно «на полпути», то отношение частоты доминанты к частоте тона было бы 3/2, и «цикл квинт» никогда не повторялся бы (но он повторяется после 12 квинт: C, G, D, A, E). , B, F#, C#, G#, D#, A#, F, C).

В современной западной музыке был сделан выбор «равного темперамента», согласно которому интервал «полутона» должен был быть получен из ноты ниже путем умножения частоты ниже на коэффициент 2, возведенный в степень (1/12). Таким образом, через 12 полутонов достигается октава. Поскольку доминанта находится на 7 полутонов выше тоники, отношение частоты доминанты к частоте тоники равно 2 в степени (7/12). Обратите внимание, что 2 в степени (7/12) равно 1,498307..., что примерно равно 3/2, но не точно.

Например, A3 = 220 Гц, E4 = 329,6275561...Гц, A4 = 440 Гц.

Подробнее см. в статье здесь .

Обратите внимание, что точность приведенных чисел (например, 329,6275561... Гц с точностью до 7 знаков после запятой) на самом деле не применима ни к какому физическому инструменту, поскольку для любого физического инструмента всегда будут ошибки настройки. Например, аккредитованный настройщик фортепиано должен быть в состоянии настроить ноту с точностью до одной сотой половины шага камертона (также известного как «один цент», что составляет примерно 0,075 Гц в ноте C ниже среднего C и примерно 0,185 Гц в E ниже среднего). концерт А). Хотя разница, о которой мы спорим, довольно мала, она все же составляет около двух центов, поэтому настройщик фортепиано должен быть в состоянии определить разницу — к сожалению, я не знаю ни одного настройщика фортепиано, которого я мог бы спросить об этом, но мне было бы интересно. услышать от них.

Кроме того, любой физический инструмент создает спектр частот, а пик на основной частоте имеет ширину, зависящую от инструмента и окружающей среды, что еще больше усложняет любую сверхточную настройку на «одну частоту».

Эти дополнительные комментарии я добавил в основном для того, чтобы указать, что я не обращаюсь к физическим инструментам или реалистичным сценариям настройки, и я ничего не сказал о том, как ухо воспринимает ноты (что, поскольку уши также являются физическим аналоговым объектом, также будет зависеть на дальнейшую полноспектральную ответную функцию уха).

Скорее, мои комментарии относятся только к математической теории. И моя точка зрения состоит не более чем в том, что:

1. Пусть X будет любой частотой (например, «тоникой»)
2. Пусть Y = X * ((3/2)**6) * ((3/4)**6)
3. Y не равно X (но близко к X)
4. Вышеупомянутый Y генерируется путем прохождения всего круга квинт, предполагая, что каждая квинта всегда в 3/2 раза больше тоники (и сопоставления обратно в одну октаву).
5. Если пройти через круг квинт (возврат к одной октаве), то после двенадцати шагов нужно вернуться к тому же значению.
6. «5» выше несовместимо с каждой пятой всегда в 3/2 раза больше тоники.

Таким образом, «круг квинт» несовместим с тем, что квинта в 3/2 раза больше тоники в целом .

На практике это не проблема из-за свойств физических объектов (некоторые из которых обсуждались выше). Но, тем не менее, для математической теории музыки это досада, и она достаточно досадна для меня, чтобы предпочесть сказать, что квинта не в 3/2 раза больше тоники. Так что в этом контексте я бы не сказал, что квинта находится «на полпути» между тоникой и октавой. Или, иначе говоря, я бы не сказал, что каждая квинта находится ровно посередине между тоникой и октавой.

Не совсем уверен, что вы подразумеваете под половинной частотой, но да, вы можете ожидать, что доминирующая семерка будет иметь ~ 150% частоты тоники.

С другой стороны, октава выше тоники составляет ~ 200% от исходной частоты тона.

Это соотношение также является причиной того, что октава или доминантная семерка звучат так согласно, потому что звуковые волны для обеих нот предсказуемо совпадают.

Что касается тона, который находится ровно на полпути от тоники к ее следующей октаве (с точки зрения тона, а не частоты), это будет тритон. Оба находятся на расстоянии 6 интервалов друг от друга.

Причина, по которой тритоны, хотя и имеют одинаковые интервалы, но не имеют одинаковой частоты между тоникой и октавой, заключалась в нелинейности роста длин волн. Помните, что частота удваивается на каждой октаве, чем ниже вы находитесь на тональности, тем меньше увеличивается частота следующей.

Рэнд Зейтман,

Было бы полезно, если бы вы определили, что вы имели в виду под «на полпути». В терминах линейного расстояния мы можем обобщить один из ответов.

f_1/2 = (f1 + f2)/2 = (f1 + 2*f1)/2 = 3*f1/2

Это соответствует определению V в настройке Just. Это также соизмеримо с одной из естественных гармоник линейной вибрирующей струны или резонансной трубы с фиксированным узлом на концах в качестве граничных условий. Гармоника n = 3 находится на октаву и пятую выше основной. Именно этот факт может иметь более сильное влияние на важность V в западной музыке. Ноты в «идеальном» интервале имеют больше гармоник, чем любые другие, и это то, что способствует восприятию диссонанса по сравнению с консонансом при анализе, основанном на физике. Это было определено Германом Гельмгольцем в конце 1800-х годов и написано в его тексте «Об ощущении тона», который доступен до сих пор. Остерегайтесь, что он обсуждает изменение скорости света относительно движущихся наблюдателей (Эйнштейн не t произвел свою работу в этот момент времени). Согласно теории (упрощенная версия), когда две ноты проигрываются вместе и имеют общие обертоны, эти обертоны поддерживают друг друга и не конфликтуют. Когда обертоны не совпадают, мы слышим «биение» между ними. Этому способствуют и другие явления. Во-первых, это способность различать две высоты тона по сравнению с комбинированной высотой звука с ударами. Интервалы, которые оцениваются как диссонирующие, имеют обертоны, которые не только не совпадают, но и достаточно близки, чтобы создать эту интерференцию. Постулируется, что именно это вызывает диссонанс. Степень диссонанса в некоторой степени связана с плотностью несовпадающих обертонов, которые попадают в «критическую полосу» для распознавания высоты звука. Вы можете подумать, что это можно устранить, удалив гармоники, но вы не можете этого сделать ни теоретически, ни на практике, потому что человеческое ухо нелинейно и создает гармоники при возбуждении. Итак, в каком-то смысле мы эволюционировали, чтобы слышать и различать эти два характера, диссонанс и консонанс. Я не могу сказать, какой эволюционной пользе это служит.

По моему честному мнению, теория несколько ошибочна. Физика бесспорно верна, но попытка использовать физику, чтобы решить раз и навсегда, что считать приятным, а что неприятным, пропитана этноцентрической предвзятостью. Мы знали ответ, который хотели, еще до того, как был применен анализ.

К другим определениям «на полпути». С развитием настройки 12ТЕТ совершенная квинта, 3/2, исчезла и заменена мерой в 7 полутонов, f = (2)^(7/12)*f1. Это достаточно близко к 3/2, чтобы служить своей цели (1,5 по сравнению с ~ 1,498...). Слышно это или нет, зависит от чувствительности человеческого организма. Некоторые люди утверждают, что могут слышать это. Что касается резонансов в музыкальных инструментах и ​​биений в человеческом ухе? Ну, все системы имеют демпфирование, и это расширяет кривую отклика. Таким образом, 1,498 может вызывать тот же симпатический резонанс, что и 1,5, и я очень мало знаю о человеческом ухе, кроме нескольких основных фактов, поэтому я не знаю, достаточно ли чувствительны оно и / или мозг, чтобы услышать разницу. Однако это не ровное деление октавы на ступени. 12 1/2 ступеней составляют октаву, а 5-я соответствует 7. Бемоль 5 соответствует 6, идеальное разделение октавы на равные соотношения (обычно мы описываем частотные отношения как отношения, а не различия). Это принесло тусклому 5-му интервалу титул идеально симметричного интервала в некоторых кругах. Это также было запрещено церковью на некоторое время.

Чтобы получить ответ на ваш первоначальный вопрос, возможно, никто не имеет права отвечать. Какой бы ни была музыка сейчас, она развивалась более 1000 лет, и ваш вопрос похож на вопрос о курице против яйца. Эти отношения делают V функционально важным? В какой-то степени, возможно, так оно и есть. Возможно, важен тот факт, что мы запрограммированы слышать диссонансы и консонансы и даже создавать их в наших собственных ушах, и что вибрирующие системы имеют естественную гармонику, которую мы теперь называем V. Возможно, именно поэтому мы придаем такое большое значение V. Однако не все культуры делают это. Чтобы ваш вопрос был справедливым, я думаю, вам следует изучить восточную музыку, африканскую и другую культурную музыку и посмотреть, был ли сделан тот же выбор.