Почему существует только два линейно независимых члена четвертой степени Хиггса для присоединенного 242424 в SU(5)SU(5)SU(5) ТВО?

Я читал утверждение в бесчисленном количестве статей, например, здесь Eq. 4.2 или здесь уравнение. 2.1 без каких-либо дополнительных объяснений или ссылок, что «наиболее общий перенормируемый потенциал Хиггса» для присоединенного (= 24-мерного) Хиггса ф является

В ( ф ) "=" − 1 2 мю 2 Т р ( ф 2 ) + 1 4 а ( Т р ( ф 2 ) ) 2 + 1 2 б Т р ( ф 4 )

где я пренебрег кубическим членом для краткости.

В терминах теории групп этот потенциал можно записать как

В ( ф ) "=" − 1 2 мю 2 ( 24 ⊗ 24 ) 1 с + 1 4 а ( 24 ⊗ 24 ) 1 с ( 24 ⊗ 24 ) 1 с + 1 2 б ( ( 24 ⊗ 24 ) 24 ( 24 ⊗ 24 ) 24 ) 1 с

Тем не менее, чистая теория групп говорит нам, что возможно несколько других инвариантов четвертой степени. У нас есть

24 ⊗ 24 "=" 1 с ⊕ 24 с ⊕ 24 а ⊕ 75 с ⊕ 126 а ⊕ 126 а ¯ ⊕ 200 с ,

где каждое представление обозначается своей размерностью и нижними индексами с и а обозначают симметричный и антисимметричный соответственно. Наивно я бы сказал, что у нас есть 7 инвариантов четвертой степени:

( ( 24 ⊗ 24 ) 1 с ( 24 ⊗ 24 ) 1 с ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 24 с ( 24 ⊗ 24 ) 24 с ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 24 а ( 24 ⊗ 24 ) 24 а ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 75 с ( 24 ⊗ 24 ) 75 с ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 126 а ( 24 ⊗ 24 ) 126 а ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 126 а ¯ ( 24 ⊗ 24 ) 126 а ¯ ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 200 с ( 24 ⊗ 24 ) 200 с ) 1 ,

потому что

1 с ⊗ 1 с "=" 1 24 с ⊗ 24 с "=" 1 75 с ⊗ 75 с "=" 1 е т с .

Таким образом, мой вопрос: почему все эти другие продукты отсутствуют в «самом общем перенормируемом потенциале»? Может быть, только два из этих семи слагаемых линейно независимы, но, по крайней мере для меня, это далеко не очевидно. И кроме того, тогда почему именно эти два являются подходящим линейно независимым выбором?

Ваши рассуждения теории представлений терпят неудачу (помимо некоторых возможных ошибок в вычислениях), потому что вам нужно учитывать симметричные тензорные произведения - у вас есть только 1 ф а не 4 разных ф с.

Ответы (1)

Самый простой ответ на ваш вопрос можно почерпнуть из хорошей книги Ф. Ячелло « Алгебры Ли и приложения» , лекция. Примечания физ. 708 (Springer, Berlin Heidelberg 2006), DOI 10.1007/b11785361, ISBN-10 3-540-36236-3

SU(5) (~ A4) имеет ранг 4 и, таким образом, 4 независимых инварианта Казимира (ваше преобразование φ подобно присоединенным образующим алгебры Ли). Инварианты бывают квадратичными, кубическими, квартичными и пятерными. Последнее обеспечило бы неперенормируемое взаимодействие Хиггса. Кубическая модель была отклонена указом (наложена дискретная изочетная симметрия BEGN) в основном для упрощения модели и анализа. Таким образом, вы должны принять как предмет доверия к книге, что инвариант четвертой степени на самом деле не зависит от квадратичного. К сожалению, однако, вы полностью исказили его.

То, что умножается на b в вашей второй формуле, должно было быть, на вашем идиосинкразическом языке,

1 2 б Т р ( ф 4 ) ↦ 1 2 б ( 24 ⊗ 24 ⊗ 24 ⊗ 24 ) 1 с .
То есть вашим четырем 24-кам не нужно составлять попарно 24-ки, которые затем составляют синглет!

Ваши первый и второй термины — это квадратичный инвариант и его квадрат, но последний — это инвариант четвертой степени, который, как вы могли бы убедить себя, не зависит от него, но для точных деталей вы должны обратиться к книге (книгам). Вы можете противопоставить это сопряженному SU (2) ранга 1, где есть только один инвариант, поэтому обязательно Т р ( ф 4 ) ∝ ( Т р ф 2 ) 2 , легко проверить путем диагонализации φ , как в вашей ссылке Ruegg.

Почему существует только два линейно независимых члена четвертой степени Хиггса для присоединенного 242424 в SU(5)SU(5)SU(5) ТВО?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v