Откуда в унифицированных моделях берется условие согласования для подгрупп U(1)U(1)U(1)?

Question

Откуда в унифицированных моделях берется условие согласования для подгрупп U(1)U(1)U(1)?

Физика
теория групп
великое объединение
квантовая теория поля
нестандартная модель

Джек

Соответствующие условия для взлома $G \rightarrow \prod_i G_i$ являются

ю_{г} - \frac{С_{2} (г) (мю)}{12 π} "=" ю_{г_{я}} - \frac{С_{2} (г_{я}) (мю)}{12 π},

$\omega_G-\frac{C_2(G)(\mu)}{12 \pi}=\omega_{G_i}-\frac{C_2(G_i)(\mu)}{12 \pi} ,$

где $C_2(g)$ обозначает квадратичный инвариант Казимира для присоединенного представления группы $g$ . (См., например, уравнение 7 в разделе «Значение результатов CERN LEP для великого объединения SO(10)) » .

Однако, например, для тормозной цепи $SU(4) \times SU(2)_L \times SU(2)_R \rightarrow SU(3_C) \times SU(2)_L \times U(1)_Y$ у нас есть соответствующее условие

ю_{U (1)_{Д}} "=" \frac{3}{5} (ю_{С U (2)_{р}} - \frac{2}{12 π}) + \frac{2}{5} (ю_{С U (4)_{С}} - \frac{4}{12 π})

$\omega_{U(1)_Y} = \frac{3}{5}\left( \omega_{SU(2)_R} - \frac{2}{12\pi} \right) + \frac{2}{5}\left( \omega_{SU(4)_C} - \frac{4}{12\pi} \right)$

(См., например, уравнение 8 в разделе «Значение результатов CERN LEP для великого объединения SO(10)) » .

Где это условие совпадения для $U(1)$ подгруппы происходят?

Любопытный Разум

Что

ω_{i}

$\omega_i$ ? Также обратите внимание, что Казимир

U (1)

$\mathrm{U}(1)$ обращается в нуль на сопряженном, поскольку сопряженное является тривиальным представлением.

Джек

@ACuriousMind 1.)

ω_{i}

$\omega_i$ соответствует подгруппе

i

$i$ . Я изменил это в вопросе, чтобы сделать его более понятным. 2.) Да, поэтому и нет термина

\propto \frac{1}{12 π}

$\propto \frac{1}{12\pi}$ слева...

Любопытный Разум

Мне было ясно, что

ω_{i}

$\omega_i$ относится к

ω

$\omega$ принадлежащий

G_{i}

$G_i$ - Я не знаю, какой предмет вы обозначаете

ω

$\omega$ в первую очередь! Являются ли эти константы связи? Кроме того, вы не имеете в виду тензорное произведение

\otimes

$\otimes$ , вы имеете в виду прямое произведение

\times

$\times$ групп там (многие физики странным образом используют там тензорное произведение).

Джек

@ACuriousMind

ω_{i} := α_{i}^{- 1} := \frac{4 π}{g_{i}^{2}}

$\omega_i := \alpha_i^{-1} := \frac{4\pi}{g_i^2}$

Дану

@ACuriousMind Предположительно, использование

\otimes

$\otimes$ исходит из того, что в физике обычно работают с алгебрами, а не с группами.

Ответы (1)

Откуда в унифицированных моделях берется условие согласования для подгрупп U(1)U(1)U(1)?

Что $\omega_i$ ? Также обратите внимание, что Казимир $\mathrm{U}(1)$ обращается в нуль на сопряженном, поскольку сопряженное является тривиальным представлением.
@ACuriousMind 1.) $\omega_i$ соответствует подгруппе $i$ . Я изменил это в вопросе, чтобы сделать его более понятным. 2.) Да, поэтому и нет термина $\propto \frac{1}{12\pi}$ слева...
Мне было ясно, что $\omega_i$ относится к $\omega$ принадлежащий $G_i$ - Я не знаю, какой предмет вы обозначаете $\omega$ в первую очередь! Являются ли эти константы связи? Кроме того, вы не имеете в виду тензорное произведение $\otimes$ , вы имеете в виду прямое произведение $\times$ групп там (многие физики странным образом используют там тензорное произведение).
@ACuriousMind $\omega_i := \alpha_i^{-1} := \frac{4\pi}{g_i^2}$
@ACuriousMind Предположительно, использование $\otimes$ исходит из того, что в физике обычно работают с алгебрами, а не с группами.

xi45 · Answer 1

Это результат сочетания двух фактов: $i$ ) вложение $U(1)_Y$ в $SU(2)_R \times U(1)_{B-L}$ , и $ii$ ) нормализация $U(1)$ обвинения.

Возьмем более простую цепочку: $SU(2)_L \times SU(2)_R \times U(1)_{B-L} \to SU(2)_L \times U(1)_Y$ .

$i$ ) В масштабе лево-правой симметрии гиперзаряд сливается в $SU(2)_R \times U(1)_{B-L}$ , и имеем соотношение:

\frac{Д}{2} "=" Т_{3 р} + \frac{Б - л}{2} .

$\begin{equation} \frac{Y}{2} = T_{3R} + \frac{B-L}{2}\,. \end{equation}$ (коэффициенты 1/2 здесь условны). Здесь

T_{3 R}

$T_{3R}$ является генератором

S U (2)_{R}

$SU(2)_R$ .

$ii$ ) Для того, чтобы неабелевы генераторы были нормированы, как и их абелевы аналоги, определим новые заряды: $Y' = \sqrt{\frac{3}{5}} \left(\frac{Y}{2} \right)$ и $C' = \sqrt{\frac{3}{2}} \left(\frac{B-L}{2} \right)$ . Следовательно, приведенное выше уравнение принимает вид:

Д^{'} "=" \sqrt{\frac{3}{5}} Т_{3 р} + \sqrt{\frac{2}{5}} С^{'} .

$\begin{equation} Y' = \sqrt{\frac{3}{5}} T_{3R}+ \sqrt{\frac{2}{5}} C' \,. \end{equation}$

Наконец, когда вы используете это выражение с константами связи (в квадрате) и выполняете сопоставление, вы получаете отношение, которое появляется в вашем вопросе. (Обратите внимание, что: $SU(4)_C \to SU(3)_C\times U(1)_{B-L}$ .)

Спасибо за Ваш ответ. Я предполагаю, что моя проблема тогда, где $\frac{Д}{2} "=" Т_{3 р} + \frac{Б - л}{2} .$ $\begin{equation} \frac{Y}{2} = T_{3R} + \frac{B-L}{2}\,. \end{equation}$ родом из?
В общем имеем: $Y/2= c_1 T_{3R} + c_2 {(B-L)/2}$ , так как $U(1)_Y$ должна быть линейной комбинацией этих образующих. Затем путем сопоставления с (известными) гиперзарядами Стандартной модели и (известными) $B-L$ заряды, фиксированные разрывом, получаем, что $c_1=c_2=1$ .

Откуда в унифицированных моделях берется условие согласования для подгрупп U(1)U(1)U(1)?

Джек

Любопытный Разум

Джек

Любопытный Разум

Джек

Дану

Ответы (1)

xi45

Джек

xi45

Зачем нам нужны сложные представления в Теориях Великого Объединения?

Значение U(1)U(1)U(1) расширений SM [закрыто]

Что такое лепто-дикварк?

Триал и обвинение

Как разложить представление SU(5)SU(5)\rm SU(5)?

Нарушение симметрии специальной подалгебре?

Почему существует только два линейно независимых члена четвертой степени Хиггса для присоединенного 242424 в SU(5)SU(5)SU(5) ТВО?

Представление SU(5)SU(5)SU(5) и высшие антисимметричные трассы

Как найти оставшуюся подгруппу после того, как некоторая линейная комбинация полей Хиггса получит VEV?

Нарушение симметрии SO(10)SO(10)SO(10) или Spin(10)Spin(10)Spin(10)