Может ли калибровочный бозон, соответствующий спонтанно вышедшему из строя генератору, оставаться безмассовым в контексте механизма Хиггса?

TL;DR: Нет, это невозможно при обычных обстоятельствах.

1. Рассмотрим для простоты спонтанное нарушение симметрии (НСС) группы

   $$G~=~ U(N+1) \quad \longrightarrow\quad H~=~ U(N),$$ т.е. есть $$\dim_{\mathbb{R}} G-\dim_{\mathbb{R}} H~=~ (N+1)^2-N^2~=~2N+1$$ сломанные генераторы.

2. На уровне алгебры Ли это соответствует примеру OP для$N=2$и к электрослабому SSB для$N=1$потому что$^1$

   $$u(N)\cong su(N)\oplus u(1), \qquad u(N\!+\!1)\cong su(N\!+\!1)\oplus u(1).$$ Этого достаточно для подсчета степеней свободы .

3. Пусть скалярное поле$\Phi$преобразовать в фундаментальное/определяющее представление$V\cong \mathbb{C}^{N+1}$из$G$. Предположим, что у него ненулевой VEV. $\Phi_0\neq 0$. Чтобы быть конкретным, глобальным$G$трансформации мы можем предположить, что

   $$\Phi_0~\propto~ \begin{pmatrix} 0\cr \vdots \cr 0 \cr 1 \end{pmatrix}~\in~V.$$

4. Подгруппа стабилизатора /изотропии

   $$H~\cong~\begin{pmatrix} H \cr & 1 \end{pmatrix}_{(N+1)\times (N+1)} ~ \subseteq~G.$$

5. В унитарном калибре$^2$можно считать, что скалярное поле (включая квантовые флуктуации) имеет вид

   $$\Phi ~\in~ \{0\}^N\times \mathbb{R},$$ т.е. существует только 1 реальный физический бозон Хиггса. Остальные$2N+1$флуктуации съедает калибровочная симметрия (вдоль ломаных направлений).

6. Массовые члены для калибровочных полей происходят от лагранжевого члена$|D_{\mu}\Phi_0|^2$. Это делает именно$2N+1$компоненты калибровочных полей$A_{\mu}\in \mathfrak{g}=u(N\!+\!1)$массивные, а именно те, что в последнем столбце.

--

$^1$ $SU(1)=\{1\}$и$su(1)=\{0\}$являются синглтонами.

$^2$Унитарная калибровка является здесь частичным условием фиксирования калибровки , фиксирующим калибровочную симметрию вдоль нарушенных направлений. В конечном итоге мы также должны исправить$H$-калибровочная симметрия, но это уже другая история.