Почему топологический фазовый переход не нарушает никакой симметрии? Скрытая симметрия?

Чтобы понять соответствующую физику на небрежном уровне, возможно, вам просто нужно несколько примеров. Вы знаете, что понятие обычно строится по тому, как вы относитесь к нему вместе с другими понятиями. Нарушение симметрии обычно приводит к вырождению основного состояния и дальнему порядку. Поле параметра порядка помогает вам идентифицировать вырожденные сектора с симметрией, нарушенной порядком. И такой порядок обычно отражается корреляционной функцией, например,$C(\vec{r}_i,\vec{r}_j)=\langle \vec{S}(\vec{r}_i)\cdot\vec{S}(\vec{r}_j)\rangle$. Так что надо бы посчитать.

• Переход Березинского-Костерлица-Таулеса
  Рассмотрим квантовую модель XY

  $$\mathcal{H}=-\frac{1}{2C}\sum_i{\frac{\partial^2}{{\partial\theta_i}^2}}-J\sum_{\langle ij\rangle}{\cos{(\theta_i-\theta_j)}}$$ определено на$d$-размерная решетка и температура не слишком высока. Вы можете расширить вокруг$\langle\theta\rangle$и перейти к статистической сумме с помощью метода интеграла по путям.
  Среди прочего вы получаете$\langle \cos{\theta}\rangle=\langle \sin{\theta}\rangle=0$когда$d$ниже некоторых критических размеров$d_c$($d\le2,T>0$и$d\le1,T=0$). Следовательно, параметр порядка равен 0, и это называется теоремой Мермина-Вагнера . Что еще более важно, корреляционная функция$C(\vec{r}_i-\vec{r}_j)$показывает степенной спад в$d_c$(длина корреляции$\xi=\infty$), в то время как высокотемпературный предел этой модели дает вам только экспоненциальный спад $$C(\vec{r}_i-\vec{r}_j)\sim\exp{\left[-\ln\left(\frac{2}{\beta J}\right)\left|\vec{r}_i-\vec{r}_j\right|\right]}.$$ Таким образом, очевидно, имеет место некоторый фазовый переход от высоких$T$низко$T$для$d=2$сценарий. Однако у вас нет параметра заказа.
  Более того, классическая версия этой модели может быть отображена на дуальную модель, состоящую из спин-волновых степеней свободы и двумерного кулоновского газа вихревой степени свободы (топологические дефекты). Переход BKT отображается на переход металл-изолятор .
  DOF в модели настолько упрощен. Это, несомненно, топологический фазовый переход без нарушения симметрии.

• $\mathbb{Z}_2$топологическая жидкость
  Это может быть более «топологическим» примером. Я пою ($\mathbb{Z}_2$) калибровочная теория на квадратной решетке определяется выражением

  $$\mathcal{H}=-g\sum_{\vec{x},j}{\sigma_j^x(\vec{x})-\frac{1}{g}\sum_\vec{x}\sigma_1^z(\vec{x})\sigma_2^z(\vec{x}+e_1)\sigma_1^z(\vec{x}+e_2)\sigma_2^z(\vec{x})},$$ в котором$\sigma_j^{x/z}(\vec{x})$матрица Паули, определенная по ссылке$(\vec{x},\vec{x}+\hat{e}_j)$. Рассмотрим фазу деконфайнмента ($g<g_c$) на торической геометрии. Основное состояние имеет$4$-кратное вырождение. В более общем плане он имеет$4^q$-кратное вырождение для замкнутой поверхности с$q$ручки (род). Просто почувствуйте топологию :)
  В отличие от вышеупомянутого обычного нарушения симметрии, когда вырожденные сектора не имеют понятия о топологии , здесь при переходе от ограниченной фазы ($g>g_c$) к деконфайнментной фазе ничто не связано со спонтанным нарушением какой-либо симметрии. Другими словами, метка, которую вы прикрепляете к вырожденным секторам в основном состоянии , полностью меняется с нарушенной симметрии на топологический индекс. Никакой локальный параметр не может отличить вырождение, за исключением операторов магнитной голономии 'т Хофта, определенных на возможных нестягиваемых петлях.
  В более живописном описании деконфайнментная фаза содержит «электрические петли», разросшиеся до такой степени, что они наматываются на две несжимаемые (большие и нелокальные) петли тора, в то время как основное состояние в конфузной фазе уникально и в нем доминируют обычно короткие «электрические петли». Это больше не звучит экзотично, как только вы вспомните, что это калибровочная теория, которая обычно может заимствовать некоторые жаргоны из$U(1)$-калибровочный электромагнетизм, например, «электрический» и «магнитный».

Что касается слабой философской грани, я бы скорее сказал, что вы могли бы переопределить симметрию, включив новые вещи. Дело в том, какую физику вы хотите извлечь в контексте. В приведенных выше контекстах, я думаю, нет никакой двусмысленности. «Скрытая переменная» была фальсифицирована экспериментальной проверкой различных неравенств Белла. Хорошо продолжать спорить о лазейках или чем-то еще, как это делают некоторые серьезные исследователи. Обратите внимание, что лучше бы это было на каком-то новом этапе понимания. См., например, эту статью профессора Леггета.