Мода Голдстоуна в O(N)O(N)O(N) (нелинейная модель σσ\sigma)

Вы должны быть осторожны, что "массовый термин", который вы написали, является возмущением основного действия.

Чтобы быть более точным: мы можем написать лагранжиан нелинейной$\sigma$модель как($K=J/T$где$T$температура системы)

$\cal{ L}$ $= \frac{K}{2}[(\nabla \vec\pi)^2+\frac{(\vec\pi\nabla \vec\pi)^2}{1-\vec \pi^2}]-\frac{\rho}{2}\log(1-\vec\pi^2)$.

Теперь напомним, что эта модель имеет смысл в пределе, когда$K\gg1$, которые на языке классических спинов соответствуют пределу, когда система находится в упорядоченной фазе. Поэтому только конфигурации с$\pi\lesssim 1/\sqrt{K}$дают важный вклад в интеграл по путям. Давайте изменим масштаб поля на$g=1/\sqrt{K}$, который дает

$\cal{ L}$ $= \frac{1}{2}[(\nabla \vec\pi)^2+g\frac{(\vec\pi\nabla \vec\pi)^2}{1-g\vec \pi^2}]-\frac{\rho}{2}\log(1-g\vec\pi^2)$.

Мы можем разложить лагранжиан по степени$g$, который дает

$\cal{ L}$ $= \frac{1}{2}(\nabla \vec\pi)^2+\frac{g}{2}[(\vec\pi\nabla \vec\pi)^2+\rho\vec\pi^2]+\cdots$.

Вы видите, что голый пропагатор (порядок$g^0$) теперь бесщелевой, а член, пропорциональный$\rho$теперь является возмущением затравочного действия (т.е. "массовый" член не входит в затравочный пропагатор). В самом деле, можно показать, что этот член необходим для обеспечения того, чтобы$\vec\pi$оставаться без зазоров; именно в этом заключается роль логарифма, который вносит новые взаимодействия, чтобы гарантировать справедливость теоремы Голдстоуна порядок за порядком в$g$.

Вас не должен смущать тот факт, что это возмущение квадратично по$\vec\pi$, который можно было бы наивно включить в голый пропагатор, потому что это очень своеобразная теория возмущений, параметр разложения которой равен$g$.

Термин журнала исходит из дельта-функции в мере, которая обеспечивает$|{\bf n}|=1$, В каждой точке$x$в интеграле по путям

$$Z=\int d[{\bf n}(x)]\delta(|{\bf n}(x)|^2-1) e^{-S[{\bf n}]}$$ мы пишем $$d^3 n(x) \delta(|{\bf n}(x)|^2-1) = d^2 \pi(x) \sqrt{g}=\frac{d^2\pi(x)} {\sqrt{1-|{\bf \pi}|^2}}$$ где $g$является определителем метрики. Помещение этого фактора в экспоненту с действием дает термин $$\int d^d x[-\frac 12 \delta^d(0)\ln(1-|{\bf \pi}^2)]$$ Дело в том, что коэффициент $\delta^d(0)$(интерпретируется как $N/V$плотность спинов) показывает, что это не обычный массовый член. Он нужен для сохранения вращательной инвариантности (и, следовательно, моды Голдстоуна), которая в противном случае была бы нарушена выбором координат при записи меры в виде $d[\pi]$.