Спонтанное нарушение симметрии при конечной температуре TTT: как описывается состояние в зависимости от TTT?

Это непросто, поскольку спонтанное нарушение симметрии (и вообще фазовые переходы) может происходить только для бесконечных систем.

Я буду обсуждать только классическое описание и, чтобы все было как можно проще, я буду рассматривать только дискретную спиновую систему на$\mathbb{Z}^d$например, модель Изинга. Для таких систем состояния отождествляются с вероятностными мерами на множестве всех бесконечных конфигураций спинов.

Обратите внимание, что для бесконечных систем вы не можете записать меры вероятности как пропорциональные$e^{-\beta H}$, так как энергия бесконечной системы вообще не определена (или бесконечна). Что всегда имеет смысл, так это отношение вероятностей двух конфигураций, совпадающих за пределами конечного множества$\Lambda$. Действительно, тогда разность энергий конечна (если взаимодействия абсолютно суммируемы).

Это приводит к следующей характеристике вероятностных мер бесконечного объема, описывающих бесконечные системы спинов:$\mu$является мерой Гиббса, если она удовлетворяет уравнениям ДЛР, т. е. если

$$\mu(\sigma \text{ inside }\Lambda \,|\, \omega\text{ outside }\Lambda) = \frac1{Z_{\Lambda;\beta}^\omega} e^{-\beta H(\sigma_\Lambda\omega_{\Lambda^c})}$$ для всего конечного набора спинов $\Lambda\subset\mathbb{Z}^d$и (почти) все конфигурации $\omega$снаружи $\Lambda$.

Существование решения этих уравнений, вообще говоря, гарантировано. Однако интересно то, что в общем случае уникальность терпит неудачу. Для данного гамильтониана и данной обратной температуры может быть несколько вероятностных мер, удовлетворяющих этим уравнениям. Каждый из них описывает одно из равновесных состояний системы.

При очень слабых предположениях можно доказать, что единственность всегда выполняется при достаточно высокой температуре. Но может случиться так, что при низких температурах их несколько. Это то, что происходит для модели Изинга в размерах$2$и выше, или для классической модели Гейзенберга в размерностях$3$и выше. В последних двух случаях симметрия гамильтониана обычно нарушается в этих мерах Гиббса. Например, в модели Изинга у вас есть две меры, описывающие систему с положительной и соответственно отрицательной намагниченностью; их можно получить, взяв конечную систему с$+$, соответственно$-$, граничное условие и принятие термодинамического предела. В качестве альтернативы вы можете ввести магнитное поле (у вас есть уникальное состояние в этом случае) и позволить напряженности магнитного поля перейти к$0$; если ты позволишь$h\downarrow 0$, вы получаете положительно намагниченное состояние, которое вы предпочитаете$h\uparrow 0$, вы получите отрицательно намагниченный.

На этом я остановлюсь, но отсылаю вас к нашей книге на эту тему, которую можно скачать здесь , для куда более обширного и подробного обсуждения.

Подводя итог, позвольте мне вернуться к вашему вопросу. Состояние невозможно описать как$T$меняется (в частности, при пересечении критической температуры), поскольку спонтанное нарушение симметрии приводит к существованию нескольких различных состояний: по одному для каждой реализации нарушенной симметрии, например, для каждого возможного направления спонтанной намагниченности. (Обратите внимание, что вы также можете получить дополнительные состояния.) Что вы можете сделать, так это охарактеризовать множество всех состояний при данной температуре и посмотреть, есть ли состояния, в которых симметрия нарушена.

Наконец, аналогичные соображения применимы и к квантовому случаю, но с существенными дополнительными осложнениями.