Почему треугольники рисуются именно так при работе с гравитацией на наклонной плоскости?

Вы можете разложить силы по AD и DF, а не по AG и GC, но они не будут теми силами, которые вы ищете. Что сбивает с толку, так это то, что мы часто работаем только с величинами , в то время как в основном мы манипулируем векторами , и нам это сходит с рук только при правильном выборе разложения.

Предположим, что направленная вниз сила тяжести$\vec{f}$с величиной$f$и направление вдоль АС. «Правильный» метод скажет, что есть нормальная сила$\vec{f}_{\!\perp}$в направлении AG и параллельная сила$\vec{f}_{\!\Vert}$в направлении ГК, с$\vec{f} = \vec{f}_{\!\perp} + \vec{f}_{\!\Vert}$. Формулы для величин

$$f_{\!\perp} = f \cos\beta, \qquad f_{\!\Vert} = f \sin\beta.$$ Кроме того, поскольку AG и GC ортогональны, мы знаем, что $\vec{f}_{\!\Vert}$не может влиять на толкание в наклонную плоскость; все такие эффекты фиксируются $\vec{f}_{\!\perp}$.

Теперь рассмотрим «неправильное» разложение$\vec{f} = \vec{f}_1 + \vec{f}_2$, с$\vec{f}_1$вдоль нашей эры и$\vec{f}_2$вдоль ДФ. Мы также можем получить эти величины:

$$f_1 = f \sec\beta, \qquad f_2 = f \tan\beta.$$ Проблема в, $\vec{f}_1$не полностью отражает нормальную силу, потому что $\vec{f}_2$способствует и этому.

В качестве крайнего примера представьте себе массу, сидящую на горизонтальной поверхности с весом$\vec{f}$направлены вниз. Мы могли бы написать$\vec{f} = \vec{f}_1 + \vec{f}_2$с обоими$\vec{f}_1$и$\vec{f}_2$также направлен вниз. Мы не можем просто смотреть на$\vec{f}_1$и пренебрежение$\vec{f}_2$при учете веса массы на земле.

Другой взгляд на вещи состоит в том, что мы молча берем точечные произведения. Реальное однозначное определение нормальной силы массы, действующей на блок, - это скалярное произведение его вектора веса на единичный вектор нормали к поверхности,$\vec{f}_{\!\perp} = (\vec{f} \cdot \hat{n}) \hat{n}$(подать или взять знак). При вычислении скалярных произведений можно игнорировать только компоненты$\vec{f}$которые ортогональны$\hat{n}$; если вы выполняете разложение, в котором ни один компонент не является ортогональным, вы должны включить оба термина. В уравнениях это разница между

$$\vec{f} \cdot \hat{n} = \vec{f}_{\!\perp} \cdot \hat{n} + \vec{f}_{\!\Vert} \cdot \hat{n} = (f_{\!\perp}) (1) \cos0^\circ + (f_{\!\Vert}) (1) \cos90^\circ = f_{\!\perp}.$$ и $$\vec{f} \cdot \hat{n} = \vec{f}_1 \cdot \hat{n} + \vec{f}_2 \cdot \hat{n} = (f_1) (1) \cos0^\circ + (f_2) (1) \cos69.91^\circ.$$

Помните о своей цели: установить баланс сил в$x$и$y$направление, которое обычно будет использоваться позже при рассмотрении проблемы для определения уравнений движения. Вы еще не определили эти оси.

Вы можете выбрать их (вашу систему отсчета) по своему усмотрению, если они перпендикулярны друг другу. В этом случае проще всего выбрать AB в качестве$x$оси, указывающей в направлении B. Выберите AG (который перпендикулярен AB ) в качестве$y$оси, указывающей в направлении А. Происхождение вашего$x,y$система координат А.

Назовите угол в B ,$\beta$. В этой конкретной проблеме$\beta$это единственный угол, который вам понадобится.

Предполагая, что FB является истинной горизонталью, тогда вес$mg$коробки действует вниз вдоль AC , перпендикулярно FB .

Проекция _ _$mg$на АГ это$y$-компонент$mg$и дается$-mg\cos\beta$(знак минус в соответствии со смыслом$y$ось).

Проекция _ _$mg$на АВ есть$x$-компонент$mg$и дается$mg\sin\beta$(знак плюс в соответствии со смыслом$x$ось).

Задача может быть решена в x-горизонтальной y-вертикальной системе координат, но это довольно сложно. Фундаментальная проблема заключается в природе нормальной силы: она выражается как ограничение, а не как непротиворечивое правило вроде «$mg$вниз» для веса.

Что делает нормальная сила, так это сопротивляется попыткам столкнуть предметы в один и тот же объем пространства, поэтому ее направление направлено наружу, перпендикулярно поверхности, а ее величина равна любым силам, пытающимся столкнуть объект вместе.

Поэтому вам нужно найти «какие бы силы ни пытались столкнуть объекты вместе», чтобы выяснить, что нормальная сила отменяет. В этом случае это означает часть веса и ничего больше, поэтому вы хотите разложить вес на часть, пытающуюся втолкнуть блок в рампу, и все, что осталось (это часть «вдоль рампы»).