Как мы можем доказать, что сила, направленная вниз немассовой веревкой на шкив, вокруг которого она обернута, равна 2T2T2T?

Question

Как мы можем доказать, что сила, направленная вниз немассовой веревкой на шкив, вокруг которого она обернута, равна 2T2T2T?

Джошуаронис

Я взял эту картинку из одной из задачников Морина.

Вся система находится под действием силы тяжести. Веревки безмассовые, а круг безмассовый.

Исходный вопрос заключается в том, чтобы задать силу, которую рука должна приложить к шкиву, чтобы предотвратить ускорение шкива вниз. Массы могут свободно двигаться, как и в случае, если одна из масс больше другой. То, что мы хотим сохранить, — это фактический круг.

Мой вопрос связан с конкретным шагом:

Ф_{час а н г} "=" 2 Т

$F_{hand} = 2T$

Почему сила, которую мы должны приложить сверху, должна быть равна $2T$ ? Я знаю очевидный ответ:

"Ну, потому что, если вы проанализируете систему, есть две части веревки, тянущиеся вниз по шкиву, каждая из которых тянет вниз с натяжением. $T$ ".

Но я хочу увидеть, как веревка с натяжением $T$ прохождение через него и оборачивание по кругу заставляет эту веревку напрягаться $2T$ на круге.

Аргумента о том, что чистая сила направлена вниз, на самом деле недостаточно: если бы каждая из этих секций, направленных вниз, висела на шкиве, этого аргумента было бы достаточно.

Но в этом случае веревка наматывается на шкив, причем каждый крошечный участок $dl$ каната, воздействующего на шкив в вертикальном направлении с разной силой. Я хотел бы посмотреть, как сумма всех сил, действующих вниз на шкив со стороны намотанной на него веревки, равна сумме $2T$ .

Мой вопрос переформулирован проще:

Как мы интегрируем нормальную силу от крошечных кусочков веревки по всему круглому шкиву, чтобы получить общую вертикальную силу $2T$ в теме?

Вот моя работа на данный момент:

Начинаем с веревки, обернутой вокруг шкива, с натяжением $T$ пробегая через него. Я не рисовал массы внизу веревки, но результирующая сила от веревки направлена вниз.

Затем мы рассматриваем небольшой отрезок веревки $dL$ стягивающий небольшой угол $d \theta$

Поскольку мы рассматриваем веревку на бесконечно малой поверхности круга, она перпендикулярна радиусу круга.

Количество силы, приложенной к нашему $dL$ справа есть $T$ , а слева есть $T$ .

Чтобы получить составляющую силы, направленную к окружности и, следовательно, нормальную силу, нам нужно рассмотреть составляющую, указывающую на окружность с любой стороны, $Tsin(\frac{d\theta}{2})$ , а затем сложить их вместе, чтобы получить общую нормальную силу $2Tsin(\frac{d\theta}{2})$ указывая НА круг (не обязательно вниз).

Ааааа, я не знаю, что делать дальше...

Спасибо!

Джошуа Хит

Возможный дубликат Почему натяжение шкива в машине Этвуда не равно

(m_{1} + m_{2}) g

$(m_1 + m_2)g$ ?

Джошуаронис

@JoshuahHeath спасибо за предложение, но это не отвечает на мой вопрос. Я понимаю, что оно не равно (m1 + m2)g, и что сила, действующая на шкив, должна быть функцией натяжения каната, соприкасающегося с ним, а не непосредственно веса масс. Для меня также имеет смысл то, что напряжение уменьшается, когда массы ускоряются.

Джошуаронис

@JoshuahHeath Мой вопрос, более конкретно, заключается в том, как интегрировать нормальную силу кусков веревки на круге по поверхности, на которой веревка соприкасается с кругом, чтобы получить 2T? В этом не было бы необходимости, если бы веревка просто свисала с круга, но так как она обвивается...

Qмеханик

Привет Джошуа Ронис. Если вы еще этого не сделали, пожалуйста, найдите минутку, чтобы прочитать определение того, когда использовать тег « домашняя работа и упражнения» , и политику Phys.SE для проблем, подобных домашней работе.

Джошуаронис

@Qmechanic только что прочитал это! Я собираюсь отредактировать свои вопросы, чтобы показать свою работу на данный момент и уточнить, в какой части я запутался. Затем я добавлю к нему тег домашнего задания. Спасибо!

Кнчжоу

@JoshuaRonis Хорошая работа. Затем используйте приближение малого угла, чтобы показать, что нормальная сила, направленная к окружности, равна

T d θ

$T \, d\theta$ . Затем используйте тригнометрию, чтобы показать, что вертикальная составляющая этой силы равна

T \sin θ d θ

$T \sin \theta \, d\theta$ .

Ответы (2)

Как мы можем доказать, что сила, направленная вниз немассовой веревкой на шкив, вокруг которого она обернута, равна 2T2T2T?

Возможный дубликат Почему натяжение шкива в машине Этвуда не равно $(m_1 + m_2)g$ ?
@JoshuahHeath спасибо за предложение, но это не отвечает на мой вопрос. Я понимаю, что оно не равно (m1 + m2)g, и что сила, действующая на шкив, должна быть функцией натяжения каната, соприкасающегося с ним, а не непосредственно веса масс. Для меня также имеет смысл то, что напряжение уменьшается, когда массы ускоряются.
@JoshuahHeath Мой вопрос, более конкретно, заключается в том, как интегрировать нормальную силу кусков веревки на круге по поверхности, на которой веревка соприкасается с кругом, чтобы получить 2T? В этом не было бы необходимости, если бы веревка просто свисала с круга, но так как она обвивается...
Привет Джошуа Ронис. Если вы еще этого не сделали, пожалуйста, найдите минутку, чтобы прочитать определение того, когда использовать тег « домашняя работа и упражнения» , и политику Phys.SE для проблем, подобных домашней работе.
@Qmechanic только что прочитал это! Я собираюсь отредактировать свои вопросы, чтобы показать свою работу на данный момент и уточнить, в какой части я запутался. Затем я добавлю к нему тег домашнего задания. Спасибо!
@JoshuaRonis Хорошая работа. Затем используйте приближение малого угла, чтобы показать, что нормальная сила, направленная к окружности, равна $T \, d\theta$ . Затем используйте тригнометрию, чтобы показать, что вертикальная составляющая этой силы равна $T \sin \theta \, d\theta$ .

Кнчжоу · Answer 1

Рассмотрим систему шкива, а также всю веревку, непосредственно касающуюся шкива. Суммарная сила, действующая на эту систему, должна быть равна нулю, но на нее действуют две направленные вниз силы, суммарно $2T$ . Это должно быть уравновешено восходящей силой $2T$ оказываемое рукой. Силы между канатом и шкивом здесь учитывать совершенно не нужно, потому что это внутренние силы.

Теперь рассмотрим только систему шкива. Он испытывает восходящую силу $2T$ от руки, поэтому он также должен испытывать нисходящую силу $2T$ от веревки, непосредственно касающейся ее, нормальной силой.

Это абсолютно строго, никакой интеграции не требуется. Но если вы настаиваете на явном выводе, просто заметьте, что нормальная сила на угол $d\theta$ является $T \, d\theta$ . Кроме того, вертикальная составляющая нормальной силы равна $T \sin \theta \, d\theta$ . Следовательно, у нас есть

Ф "=" \int_{0}^{π} Т грех θ г θ "=" 2 Т .

$F = \int_0^\pi T \sin \theta \, d\theta = 2 T.$

Мне нравится, что вы представили интеграл, чтобы проиллюстрировать результирующую силу.
Спасибо. Не могли бы вы приложить к нему маленькую картинку?
@JoshuaRonis Извините, я не умею рисовать, но тета начинается с 0, когда левая веревка касается и поднимается до $\pi$ когда правая веревка касается. Вы можете получить подынтегральное выражение, разорвав веревку на маленькие кусочки и уравновешивая силу на каждом кусочке. Скажите мне, если у вас есть проблемы с установкой этого!
@knzhou Большое спасибо. Посмотрите на мою правку... Я все еще в замешательстве, но думаю, что приближаюсь. Сегодня попробую еще раз... есть подсказки?

пользователь65081 · Answer 2

Детали взаимодействия веревки и круга не имеют особого значения. Вместо этого представьте себе систему частиц, все движущихся вокруг, в таком случае, если центр масс не движется, сумма сил, направленных вверх, должна быть равна сумме сил, направленных вниз. Вы можете представить свою систему как круг с веревкой, но без масс. В таком случае две силы, направленные вниз, ar T и T, создаваемые каждой массой над веревкой, и сила, направленная вверх, равна F, поскольку и масса, и ускорение равны нулю, тогда F=2T.

Как мы можем доказать, что сила, направленная вниз немассовой веревкой на шкив, вокруг которого она обернута, равна 2T2T2T?

Джошуаронис

Джошуа Хит

Джошуаронис

Джошуаронис

Qмеханик

Джошуаронис

Кнчжоу

Ответы (2)

Кнчжоу

пользователь196418

Джошуаронис

Кнчжоу

Джошуаронис

пользователь65081

Почему я получаю два результата из одной диаграммы свободного тела?

Когда человек тянет или толкает тележку, почему его телу выгодно наклоняться вперед?

Фрикционный блок на блоке

Работа со шкивами и струнами с массой

Силовая диаграмма игрушечной машины

Натяжение в веревке

Блок на наклонной плоскости

Зависимость натяжения (с учетом шкивной системы) от массы грузов

Сила, необходимая для удержания книги в руках — не уверена насчет влияния трения.

Какая результирующая радиальная сила вызывает круговое движение точечной массы, катящейся по сфере, находящейся на поверхности Земли?