Почему я получаю два результата из одной диаграммы свободного тела?

Для каждого конкретного случая есть некоторые очевидные детали, которым нельзя противоречить. FBD обеспечивает более математический подход к вопросу, но то, как мы формируем наши уравнения, основано на этих важных деталях.

Правильный FBD удовлетворяет всем этим деталям (или наблюдениям).

Для данного случая наблюдения таковы:

1. Клин неподвижен,
2. Блок никогда не теряет контакт с клином, и
3. Блок ускоряется вдоль клина.

Когда вы разрешаете нормальную силу по вертикали и по горизонтали, вы приходите к двум выводам.

Заключение$(1)$, Вертикальное равновесие.

$N\cos{\theta}=mg$

Это уравнение показывает, что блок находится в вертикальном равновесии, но это противоречит наблюдению$(3)$. Блок должен двигаться вертикально вниз.

Вывод (2) Горизонтальное ускорение.

$ma=N\sin{\theta}$

В этом случае мы знаем, что брусок никогда не покинет клин, но если брусок имеет некоторое чистое горизонтальное ускорение (как показано на диаграмме), он обязательно покинет клин. Это противоречит наблюдению$(2)$.

Таким образом, уравнения, которые мы получаем, используя эту FBD, должны быть неправильными, потому что они не удовлетворяют нашим наблюдениям. Однако это не означает, что FBD неверен, но уравнения, которые мы приходим к FBD, неверны.

Когда вы определяете вес блока вдоль и поперек клина, результирующая FBD удовлетворяет всем нашим наблюдениям. Два правильных уравнения:

Перпендикулярно поверхности: Уравнение (1) ,$mg\cos{\theta}=N$, это удовлетворяет наблюдению$(2)$.

Вдоль поверхности: Уравнение (2) ,$ma=mg\sin{\theta}$, это удовлетворяет наблюдению$(2)$и$(3)$.

Эти уравнения в комбинированном смысле говорят нам, что результирующая сила, действующая на блок, равна$mg\sin{\theta}$. Нормальная сила отменяется$mg\cos{\theta}$.

Следовательно, это правильный FBD.

Более того, мы также знаем это по наблюдению, что блок будет двигаться как вперед, так и вниз. Итак, если вы еще решите$mg\sin{\theta}$вертикально и горизонтально, вы получите истинное вертикальное и горизонтальное ускорение блока соответственно.

Однако, если клин тоже ускоряется, вам просто нужно составить уравнения, удовлетворяющие наблюдениям. Наиболее важным наблюдением в любом из случаев является то, что блок неподвижен по отношению к поверхности клина.

Я надеюсь, что составление правильных уравнений больше не будет для вас проблемой.

Нужен какой-то контекст. Ответ зависит от ускорения.

• Рампа без трения: в этом случае блок ускоряется вниз по рампе. В направлении, нормальном к рампе, ускорение отсутствует, поэтому в этом направлении нет результирующей силы, поэтому$N=mg \mathrm{cos}\theta$.

• Поворот с креном: в этом случае ускорение горизонтальное, поэтому результирующая вертикальная сила отсутствует. Таким образом$N\mathrm{cos}\theta=mg$.

Физический принцип, лежащий в основе таких проблем, — первый закон Ньютона:
$F=M*a$
Где F - сумма всех сил в направлении.

В большинстве школьных задач движение (и, следовательно, ускорение) в рассматриваемом направлении отсутствует, и уравнение сводится к$F=0$. К сожалению, многие люди делают поспешный вывод, что$F=0$не мотивируя это. Много раз им везло, и движения в этом направлении действительно не было, и они получали правильный ответ. Но иногда предположение об отсутствии ускорения неверно. В этом случае они получают неверный ответ и не могут понять, почему. Это прекрасный пример такой ситуации. Без трения, как это имеет место согласно нарисованной FBD, блок будет ускоряться вниз по склону. Составляющая этого ускорения находится в вертикальном направлении, поэтому предположение о том, что сумма сил в вертикальном направлении равна нулю, неверно. Это приводит к неправильному ответу.

В других ответах было высказано предположение, что FBD неверен и должен решаться в определенных направлениях. Это неправда. Задачу можно решить, разложив силы по любым двум направлениям, если только они не лежат на одной прямой. Приведенное ниже доказательство показывает, что задачу можно решить, разложив силы вдоль и поперек склона, а также в горизонтальном и вертикальном направлениях.

Начнем с простого решения и выведем уравнения движения в направлении склона и перпендикулярно ему. Я определяю направление t как движение вниз по склону, а направление n перпендикулярно ему вниз. Уравнения:

$$\begin{align} mg\sin\theta &= ma_{t} \tag{1a} \\ mg\cos\theta - N &= ma_{n} \tag{2a} \end{align}$$

Теперь заметим, что N — это не случайная сила, а сила реакции, которая удерживает брусок на склоне. Следовательно, ускорение перпендикулярно склону равно нулю, и мы назовем ускорение вдоль склона а. Уравнения теперь сводятся к:

$$\begin{align} mg\sin\theta &= ma \tag{3a} \\ mg\cos\theta - N & = 0 \tag{4a} \end{align}$$

Или:

$$\begin{align} ma &= mg\sin\theta \tag{5a} \\ N &= mg\cos\theta \tag{6a} \end{align}$$

Теперь самое сложное, решение системы в горизонтальном и вертикальном направлении. Мы определим направление x как влево, а направление y вниз. Тогда мы получим следующие уравнения:

$$\begin{align} mg - N\cos\theta &= ma_{y} \tag{1b} \\ N\sin\theta &= ma_{x} \tag{2b} \end{align}$$

Снова мы знаем, что брусок может двигаться только по склону, потому что N — сила реакции, и снова мы называем ускорение по склону (вниз) a. Таким образом, мы получаем следующие уравнения:

$$\begin{align} mg - N\cos\theta &= ma\sin\theta \tag{3b} \\ N\sin\theta &= ma\cos\theta \tag{4b} \end{align}$$

Уравнение 4b теперь можно переписать как:

$$\begin{align} N &= \frac{ma\cos\theta}{sin\theta} \tag{5b} \end{align}$$

Теперь уравнение 5b можно вставить в уравнение 3b:

$$\begin{align} mg - ma \frac{cos\theta}{sin\theta} cos\theta &= ma\sin\theta \tag{6b} \end{align}$$

Это можно переставить на:

$$\begin{align} mg &= ma \big( \frac{cos\theta}{sin\theta} cos\theta + sin\theta \big) \tag{7b} \end{align}$$

Теперь умножаем второе слагаемое в скобках на$\frac{sin\theta}{sin\theta}$и получить:

$$\begin{align} mg &= ma \big( \frac{1}{sin\theta} \big) \tag{8b} \end{align}$$

Или:

$$\begin{align} ma &= mg\sin\theta \tag{9b} \end{align}$$

Это то же самое, что уравнение 5а. Вставка этого в уравнение 5b дает:

$$\begin{align} N &= mg\sin\theta \frac{cos\theta}{sin\theta} \tag{10b} \end{align}$$

Это упрощает:

$$\begin{align} N &= mg\cos\theta \tag{11b} \end{align}$$

Что снова то же самое, что и 6а.

Важный урок, который следует здесь усвоить, состоит в том, чтобы всегда явно записывать ускорения и устанавливать их равными нулю только после того, как вы докажете, что они будут нулевыми.

вы не должны разлагать нормаль на составляющие Это потому, что Ncosθ≠mg. Существует ненулевое ускорение в направлении вниз. Если блок находится в равновесии, существует какая-то другая сила, толкающая блок по наклонной плоскости. силу, действующую вдоль наклонной плоскости, толкающей тело вверх, можно разложить на составляющие

1. нормальная сила возникает из-за контакта между телом и плоскостью

2. мг (нисходящая сила) из-за силы тяжести

сила, которая не перпендикулярна поверхности, разрешена

Вы допустили ошибку, применив здесь второй закон Ньютона. Это говорит, что$\sum \vec{F}=m\vec{a}$.

Так как тело разгоняется по наклону рампы (скажем, с ускорением$a$) будет составляющая ускорения$a\sin{\theta}$что по вертикали. Таким образом, 2-й закон Ньютона, примененный в вертикальном направлении, принимает вид:

Предположим вместо этого, что мы применяем 2-й закон Ньютона вдоль направления нормальной реакции, тогда составляющая ускорения по нормали равна$a\cos{90^{\circ}} = 0$. Таким образом, 2-й закон Ньютона принимает вид:

Теперь вы можете использовать оба FBD для решения проблемы, в этом нет ничего плохого. Каждая диаграмма свободного тела дает вам 2 уравнения (по 2 перпендикулярным направлениям), которые вам нужны для решения 2 переменных в задаче,$N$и$a$. Обычно люди используют первую диаграмму свободного тела, потому что тогда вам не нужно решать уравнения, вместо этого вы можете напрямую решать переменные (как вы это сделали)

Прежде чем суммировать силы, как описано в других ответах, я считаю полезным добавить немного больше деталей в FBD. Здесь легко увидеть, что N = mg cos(theta) вместо mg = N cos(theta)

Вот FBD для дороги с уклоном, показана центростремительная сила.

Вы сделали очень простую тригонометрическую ошибку.

Когда вы приравняли$N=mg \cdot cos(\theta)$ это не правильно. Искать$cos(\theta)$определение, и вы поймете.

косинус:

существительное, математика

тригонометрическая функция, равная отношению катета, прилежащего к острому углу (в прямоугольном треугольнике), к гипотенузе.

Исходя из этого, отношение должно быть на правой верхней диаграмме как$N=\frac{mg}{cos(\theta)}$

И действительно, вы приходите к такому же соотношению на второй диаграмме.

ПОМНИТЕ : число никогда не лжет; если они появляются, то это должна быть наша ошибка :P

Вы правильно распределяете силы. Но почему вы ставите их равными?

Вы делаете это, потому что принимаете первый закон Ньютона. Проблема только в том, что 1-й закон Ньютона не работает в обоих случаях. Это применимо только в направлении, перпендикулярном поверхности, поскольку в этом направлении ничто не ускоряется. Итак, ваше второе уравнение верно.

В любом другом направлении есть компонент ускорения, поэтому вы должны использовать 2-й закон Ньютона и включить термин «масса-ускорение-компонент». Первое уравнение неверно и должно было быть: