Почему U(1)YU(1)YU(1)_Y гиперзаряд, а не U(1)emU(1)emU(1)_\text{em} электромагнетизм?

Короткий ответ: точно моделировать реальность.

Длинный ответ: слабое взаимодействие имеет несколько специфических свойств:

1. The $W$бозоны - это векторные бозоны (поэтому слабая теория, вероятно, является калибровочной теорией)
2. The $W$бозоны имеют электрический заряд
3. The $W$бозоны имеют массу. ($Z$бозон экспериментально не наблюдался; это было предсказание СМ)
4. The $W$бозоны соединяются кирально, что означает, что левые и правые фермионы принадлежат к разным представлениям калибровочной группы. В частности, левые фермионы преобразуются в дублетное представление, правые — в синглетное (тривиальное) представление.
5. EM - это калибровочное взаимодействие, которое связывается векторно.

Это приводит к двум проблемам, которые не понимались до 60-х годов. Первая проблема — как получить массивные калибровочные бозоны (пункты 1 и 3). Наивно массовый член векторного бозона нарушает калибровочную симметрию и унитарность. Вторая проблема — как получить массивные фермионы (пункт 4). Массовый член фермиона связывает левые и правые фермионы, но они принадлежат к разным слабым представлениям, поэтому массовый член фермиона также нарушает калибровочную инвариантность.

Реализация Хиггса и др. а позже Глэшоу и Вайнберг пришли к выводу, что обе эти проблемы могут быть решены путем спонтанного нарушения симметрии. Механизм Хиггса говорит, что спонтанное нарушение симметрии калибровочной симметрии приводит к массивным калибровочным бозонам. И если оператор, который получает значение вакуумного среднего, имеет правильные квантовые числа, он может правильно связать фермионы, чтобы получить эффективную массу фермионов.

Возникает вопрос, какой паттерн спонтанного нарушения симметрии соответствует действительности и какой оператор должен получить vev?

Из-за пункта 5 нам нужен SSB, который оставляет$U(1)_{em}$непрерывный. Поскольку существует только одна группа Ли с дублетными иррепрезентациями, мы также знаем, что исходная калибровочная группа должна включать$SU(2)$фактор. Более того, поскольку$W$бозоны имеют заряд (п. 2), генератор$U(1)_{em}$не должен коммутировать с некоторыми$SU(2)$генераторы!

Чтобы исправить пункт 4 и сделать калибровочно-инвариантный массовый член, нам нужен оператор для получения vev, который преобразуется в дублет$SU(2)$. Это исключает шаблон нарушения симметрии$SU(2)\rightarrow U(1)_{em}$(нет генератора$SU(2)$что оставляет нетривиальный дублет инвариантным, что означает, что дублет всегда ломается$SU(2)\rightarrow {1}$что не оставляет места для фотона).

Следующим простейшим шаблоном, который можно попробовать, является$SU(2)\times U(1)_Y\rightarrow U(1)_{em}$. Мы могли бы добиться этого с незаряженным дублетом и$U(1)_Y = U(1)_{em}$, но потом$[U(1)_{em},SU(2)]=0$и$W$бозоны не будут заряжены. Единственный другой способ — использовать шаблон Стандартной модели, в котором$U(1)_{em}$генератор представляет собой линейную комбинацию$U(1)_Y$и какой-то генератор$SU(2)$, что действительно является возможным шаблоном.

Итак, паттерн нарушения симметрии$SU(2)\times U(1)_Y \rightarrow U(1)_{em}$с$Q = Y + T_3$является минимальным паттерном SSB, который соответствует общей слабой феноменологии. Это не единственный возможный механизм, поэтому очень хорошо, что природа выбрала именно его. Это также хорошо, потому что оно предсказывает$Z$бозон.

Подробный ответ

Дело в том, что вы не можете навязать априорную интерпретацию калибровочной группы, с помощью которой вы расширяете существующую теорию. Вы можете только принять решение о симметрии вашей теории.

Таким образом, сохраняя вещи очень общими, вы начинаете с попытки измерить группу симметрии$SU(2)$. Он имеет три генератора и, таким образом, дает три независимых тока. Связка симметрий, связанных с такой группой, обычно известна как изоспин . Это не ограничивается слабым взаимодействием. На самом деле есть и другие объекты с подобной симметрией.

Когда вы пытаетесь «втиснуть» электромагнетизм в свою теорию, вы продолжаете расширять группу симметрии. Это означает, что ваши поля будут соответствовать представлению расширенной группы. Естественный способ сделать это — перейти от$SU(2)$к$SU(2)\times U(1)$.

Теперь помните, на данном этапе нет особого смысла что-то говорить о природе добавленного$U(1)$симметрия. И мы должны фактически анализировать новые$SU(2)\times U(1)$группа как единое целое .

Затем вы должны приступить к написанию самого общего элемента группы, который позволит вам идентифицировать ее образующие. Затем, когда вы оцениваете свою группу, ковариантная производная записывается соответствующим образом (см. Peskin and Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory , p. 702 of 1995 edition):

$$D_\mu=\partial_\mu-igW^i_\mu T^i-ig'YB_\mu$$

где$W^i_\mu$и$B^\mu$являются соответственно «векторными потенциалами», связанными с$SU(2)$и$U(1)$симметрии и множители впереди - это соответствующие заряды любой данной частицы в соответствующей группе.

До сих пор у нас не было возможности придать какой-либо определенный смысл используемым группам симметрии, и нам приходилось действовать довольно механически.

Мы должны ввести гиперзаряд, потому что хотим иметь правильную теорию.

Это верно. И под правильной теорией мы подразумеваем ту, которая соответствует наблюдениям. Чтобы наше объединение слабого взаимодействия и ЭМ было успешным, мы, таким образом, хотим восстановить, среди особенностей нашей новой модели, бозон со всеми свойствами фотона из электромагнетизма.

Чтобы отследить этот фотон, мы начнем с того, что заметим, что он должен быть нейтральным под действием всей группы. Вводя приведенную выше производную в лагранжиан для нашей теории (подробности см. в P&S), мы получаем часть, описывающую нейтральные токи, пропорциональные

$$\mathcal{L}_{n.c}=\bar{\psi}\gamma_\mu[gT_3 W_3^\mu+g'YB^\mu]\psi~,$$

где$\psi$обозначает более крупный объект (элемент представления полной группы), сгусток частиц, смешанных электрослабым взаимодействием, например$\nu_e^L, \nu_e^R, e_L, e_R$для взаимодействия электрона с его нейтрино.

Затем, чтобы ЭМ появился, нужно «перетасовать» этот нейтральный сектор, чтобы получить часть, формально идентичную взаимодействующей части ЭМ-лагранжиана. Это может быть достигнуто путем вращения

$$B_\mu = A_\mu \cos\theta_W - Z_\mu \sin\theta_W$$ $$W_\mu^3 = A_\mu \sin\theta_W + Z_\mu \cos\theta_W$$

Это воспроизводит желаемый лагранжиан$\mathcal{L}_{\gamma}=\bar{\psi}\gamma_\mu eQ \psi A^\mu$если выбрать слабый угол $\theta_W$мудро.

Это действительно не сложно, но опасаясь, что этот ответ станет невыносимо техническим, я просто цитирую результат (опять же, из P&S):

$$e=\frac{gg'}{\sqrt{g^2+g'^2}}~,$$

и

$$Q = T^3+Y~.$$

Заключение

Суть, которую, я надеюсь, я смогу прояснить, заключается в том, что у вас нет выбора в отношении интерпретации физической природы любой части вашей группы симметрии, пока вы не выработаете лагранжиан. Только тогда вы сможете присвоить нужные значения вашим свободным параметрам, чтобы восстановить свою физику.

Следовательно$U(1)_{EM}$который содержится внутри$SU(2)_L\times U(1)_Y$на самом деле является комбинацией аспектов обоих$SU(2)_L$и$U(1)_Y$.

Термины «слабый изоспин» и «слабый гиперзаряд» теперь могут иметь больше смысла после осознания того, что они оба являются необходимыми аспектами более крупной группы, которая содержит как слабые, так и электромагнитные взаимодействия.