Почему у Energy-Momentum особый случай?

Во-первых, нерелятивистское уравнение

Последняя, ​​релятивистская формула всегда верна. Первая, если мы хотим рассматривать «только абсолютно правильные и точные» формулы, никогда не бывает правильной – кроме случая$v=0$. Однако нерелятивистское уравнение можно записать совершенно строго (чтобы описать, что оно является приближенным) как

Граница значений$v$где применяется нерелятивистская формула, действительно «нечетко» - нельзя указать какое-либо точное значение$v$(за исключением$v=0$, в бесполезном смысле, описанном выше), где нерелятивистская формула перестает выполняться. Но для$v/c\lt 0.1$или около того, ошибка меньше одного процента. Для большей скорости, чем$v=c/2$, нерелятивистская формула становится настолько плохой, что ее нельзя использовать ни в каком количественном контексте.

Погрешность нерелятивистской формулы энергии — или, выражаясь более демократично, разница между двумя формулами — просто постепенно увеличивается от$0$в$v=0$к чему-то сравнимому со 100% при$v=c/2$и огромная ошибка для$v\to c$.

Физика фундаментально основана на непрерывных числах, а это означает, что почти все ее величины постепенно изменяются, а также постепенно изменяются их различия и погрешности. Кроме того, ошибки, меньшие определенного порога, невозможно обнаружить экспериментально, что позволяет сказать в очень конкретном эмпирически обоснованном смысле, что ошибка в основном равна нулю.

Из-за вездесущности пределов и ограничивающих утверждений о формулах, выражениях и теориях в физике можно сказать, что если вы не поймете и не примете этих важных понятий о пределах и эквивалентности выражений в пределах, у вас практически нет шансов понять что-либо в физике.

Далее, почему это не работает во всех аспектах? конечно, уравнение должно быть «универсальным» и по-прежнему должно работать с любыми заданными значениями.

Да, было бы неплохо, если бы мы могли найти уравнение, которое было бы «универсальным». В случае массы m, энергии E и импульса p существует такое универсальное уравнение:

Эйнштейн всегда хотел создать теорию\уравнение, применимую ко всем аспектам физики и не имеющую факторов «выдумки».

Да, это великий триумф, что это уравнение всегда применимо ко всем аспектам физики без каких-либо фальшивых факторов:

Мне попадались "особые" случаи, когда это не касается

Действительно? Насколько я понимаю, приведенное выше уравнение всегда применяется. Вы действительно рассчитали или измерили предполагаемую разницу?

Самое главное, почему это не работает,

Я не понимаю. Уравнение

Если скорость тела$v$намного меньше, чем$c$, то уравнение сводится к$E = (mv^2/2) + mc^2$.

Что они подразумевают под «намного медленнее», где граница «намного медленнее»?

Что они подразумевают под «сводит к» и «намного медленнее», так это то, что люди часто готовы допустить некоторую небольшую ошибку, и, учитывая любую конкретную допустимую ошибку, существует некоторый диапазон скоростей (включая 0), где уравнение

$E = (mv^2/2) + mc^2$

, хотя и не совсем точно с математической точки зрения, находится в пределах допустимой ошибки правильного уравнения.

Итак, если мы готовы допустить ошибку в 0,01 %, то эта технически неверная формула подходит для скоростей v меньше 0,1 c =~= 108 000 000 км/ч.

Иногда мы проводим гораздо более точные измерения — в этом случае существует небольшой диапазон более медленных скоростей, который дает достаточную точность по формуле Ньютона.

Исторически это «сводится к» было важно, потому что более века исследований показали, что ньютоновские уравнения всегда совпадают с фактическими наблюдаемыми результатами с точностью до ошибки эксперимента. Люди неохотно переходили на уравнения Эйнштейна, которые, как вы заметили, не совпадают с уравнениями Ньютона. Зачем им переключаться с того, что работает, на другое уравнение? Дело в том, что все эти эксперименты проводились при настолько малых скоростях, что разница между «правильным» уравнением и «неправильным» уравнением была слишком мала, чтобы ее можно было измерить. И поэтому, чтобы решить, какое уравнение было правильным, нам нужно было провести новые эксперименты, в которых разница между этими уравнениями была достаточно большой, чтобы ее можно было измерить.

Если вы положите$p = \gamma mv$где$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$и$\beta = \frac{v}{c}$в уравнении Эйнштейна вы получаете

$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 = (\gamma mvc)^2+ (mc^2)^2$

$= (\frac{c^2}{c^2 - v^2})v^2(mc)^2 + (mc^2)^2= (\frac{v^2}{c^2 - v^2})(mc^2)^2 + (mc^2)^2$

$= (\frac{c^2}{c^2 - v^2})(mc^2)^2 = (\gamma mc^2)^2$

$\therefore E = \gamma m c^2\ .$

Теперь примените биномиальное расширение, предполагая, что$v \ll c$то есть$\beta \ll 1$:

$E = (1-\beta^2)^{-\frac{1}{2}}mc^2$

$\implies$$E = (1 -\frac{1}{2}(-\beta^2) + O(\beta^4))mc^2$

Теперь вы получите ответ на все. Если точность, которую вы хотите получить в своих расчетах, меньше той, которую обеспечивает$O(\beta^4)$терминах, т. е. если v настолько «маленькое», что при расчете энергии четвертая степень$\frac{v}{c}$не создаст для вас большой разницы, тогда вы можете использовать формулу, взяв только первые два члена и проигнорировав остальные, и в этом случае вы получите результат, указанный в вашем вопросе:

$E = (1 -\frac{1}{2}(-\beta^2))mc^2 = mc^2 + \frac{1}{2}m\frac{v^2}{c^2}c^2 = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$

Если скорость тела$v$намного меньше, чем$c$, то уравнение сводится к

Это неточная формулировка и, я думаю, причина вашего замешательства.

Правильное описание заключается в том, что второе уравнение является аппроксимацией первого, и оно будет тем ближе к точности, чем ниже$v$является.

Аппроксимация важна для понимания связи между ньютоновской и релятивистской физикой, но я не думаю, что в этом приближении есть большая практическая цель.

Либо вы делаете свои расчеты, используя ньютоновскую физику, где вы игнорируете соотношение массы и энергии, либо вы делаете их, используя релятивистские правила, используя полные уравнения.

Во-первых, ваши выводы верны и найдены Эйнштейном. Однако появление нового термина свидетельствует лишь о неполноте наших прежних знаний. Новый термин выражает Энергию, связанную с массой покоя тела, которая ранее не учитывалась. И это имеет смысл, потому что раньше при отождествлении Энергии тела включались только те термины, которые относились к формам Энергии, в которых, как мы знали, может происходить какой-то обмен . Поскольку не было известно, что масса обменивается с Энергией, закон сохранения массы был известен, но разделен.

В заключение, новый термин не несовместим с воспроизводимостью предыдущей физики, он является частью привнесенных новых знаний.

Что же касается того, что понимать под «намного медленнее», то это зависит от чувствительности вашего эксперимента или явления. Но есть хорошее эмпирическое правило: когда кинетическая энергия порядка массы покоя. Помните, что полная энергия частицы связана с массой покоя$m_0$как

Специальные уравнения, которые вы упомянули, полезны, поскольку они объясняют ограничивающее поведение.

Ваш пример ничем не отличается от утверждения типа: гипотенуза$c$прямоугольного треугольника с катетами$a$и$b$с$b \ll a$дан кем-то$c = a + \frac12 b^2/a$. Пифагорейское отношение$c^2 = a^2 + b^2$верно для любого прямоугольного треугольника, но частный случай$b \ll a$полезно выяснить, насколько гипотенуза выходит за пределы большего катета в пределе ультраострых прямоугольных треугольников.

Точно так же уравнение$E = mc^2 + \frac12 mv^2$описывает, насколько больше полная энергия$E$движущегося объекта по сравнению с его энергией покоя$mc^2$, в пределе отношения скорости объекта к скорости света, падающего до нуля. Эта разность энергий известна как кинетическая энергия, и предельное уравнение ясно показывает, что в пределе медленных движений кинетические энергии в теории Эйнштейна согласуются с энергиями в теории Ньютона.

Я не видел, чтобы кто-нибудь упомянул практическую причину использования приближения для энергии. Дело в том, что в большинстве задач вы будете вычислять разницу в энергии. В таком случае для малых скоростей можно не только перейти к приближению${m v^2\over 2}+m c^2$, но если вы также не конвертируете массу в энергию или наоборот, вы можете отбросить$m c^2$а так как он будет вычитать. Теперь у вас есть Ньютон${m v^2\over 2}$. Это гораздо больше подходит для большинства земных проблем, и вы можете легче вычислить его без$m c^2$. Если вы хотите вычислить изменение энергии при ускорении объекта на 20 м/с и пытаетесь использовать$E^2=(m c^2)^2+(p c)^2$, то сдача будет находиться в 14-м десятичном разряде$E$. Именно здесь приближения и отбрасывание постоянных членов становятся не только полезными, но и необходимыми.

Все вышеперечисленные ответы хороши, но я хочу добавить кое-что еще. Вы можете вывести соотношение энергии-импульса по крайней мере из принципа, действие равно$A=-m\int \sqrt{1-v^2}{\rm d}t$. Лагранжиан$\cal L$$=-m\sqrt{1-v^2}$, то вы можете получить импульс$p$от производной по$v$(это реальный импульс, а не$mv$). Энергия$H=E=pv-\cal L$, как только$E^2=p^2+m^2$Вы получаете.

Прямой ответ:

Далее, почему это не работает во всех аспектах? конечно, уравнение должно быть «универсальным» и по-прежнему должно работать с любыми заданными значениями.

Уравнение$E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2$ работает для всех значений.

Как объяснили другие ответы, при низких скоростях (или, что то же самое, при низких импульсах)$E = \frac{1}{2}mv^2 + mc^2$дает примерно такой же результат и немного легче вычисляется. Вот почему мы его используем.

Первые два ненулевых члена разложения в ряд Тейлора$E$в

являются

Остальные ненулевые члены будут включать$v^4$,$v^6$, и т.д., и практически не имеют значения для повседневных скоростей. Цель этого приближения — показать, как релятивистская кинетика сводится к ньютоновской кинетике при малых скоростях.

Важно отметить, что границы нет, а разница становится все меньше и меньше.