Почему угловая скорость является векторной величиной? [дубликат]

В трех измерениях любое вращение можно выразить как угловое смещение относительно некоторой оси. Затем угловая скорость твердого тела определяется как вектор, который указывает вдоль (мгновенной) оси вращения и величина которого равна (мгновенной) скорости углового смещения вокруг указанной оси.

В 2D нам нужно только$1$параметр, чтобы однозначно указать вращение, и поэтому мы можем рассматривать угловое смещение и угловую скорость как скалярные величины.

В любом другом количестве измерений мы сталкиваемся с проблемами. Причина этого в том, что вращение обычно происходит не вокруг оси , а в плоскости . В трех измерениях плоскость, проходящая через начало координат, однозначно определяется одной перпендикулярной осью, в то время как в двух измерениях можно говорить только об одной плоскости. В более высоких измерениях все становится сложнее.

Матрица вращения в$n$размеры представляет собой ортогональную матрицу с определителем$+1$- иными словами, элемент$SO(n)$. Размерность$SO(n)$является$\frac{n(n-1)}{2}$, что соответствует количеству параметров, необходимых для полного указания поворота. Когда$n=3$, это соответствует$3$параметры, что означает, что мы можем связать данный поворот с уникальным трехмерным вектором. Когда$n=2$, это соответствует$1$параметр, поэтому нам нужен только скаляр. Однако, когда$n=4$, нужна ротация$6$параметры должны быть полностью определены, поэтому ни скаляра, ни четырехмерного вектора недостаточно для выполнения работы.