Почему в энергии взаимодействия индуцированного диполя с полем, которое его индуцирует, есть множитель 1/2?

Сила, действующая на диполь, помещенный в электрическое поле, определяется выражением$\mathbf{F} = (\mathbf{p}\cdot \nabla)\mathbf{E}$(см., например, Griffiths, 3-е издание, уравнение 4.5). Напомним, что,

$$\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}) = \mathbf{p}\times (\nabla\times \mathbf{E}) + \mathbf{E}\times(\nabla\times \mathbf{p})+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{p}$$ Предполагать $\nabla\times \mathbf{E} = 0$(Я оправдаю это в конце, поверьте мне сейчас). Если дипольный момент постоянный, $\mathbf{p} = \mathrm{const}.$, второй и четвертый члены выше равны нулю, и выражение для силы можно переписать, $$\mathbf{F}=\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})\quad\Rightarrow\quad U=-\int_{r_a}^{r_b} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\mathbf{p}\cdot \mathbf{E} |_{r_a}^{r_b}$$ Однако, если $\mathbf{p}$не константа, а скорее $\mathbf{p} = \alpha\mathbf{E}$, где $\alpha$– поляризуемость, четвертый член отличен от нуля, и $$\begin{split} \nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}) &= 2\alpha\mathbf{E}\times (\nabla\times \mathbf{E}) + 2\alpha(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E}\\ &= 0+2(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E} \end{split}$$ Поэтому, $$U=-\int_{r_a}^{r_b} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\int_{r_a}^{r_b}\frac{1}{2}\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})=-\frac{1}{2} \mathbf{p}\cdot\mathbf{E} |_{r_a}^{r_b}$$ Единственный нерешенный вопрос – обоснование предположения $\nabla\times\mathbf{E}=0$. Из соответствующего уравнения Максвелла $\nabla\times\mathbf{E}= - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$. Если ваши поля статичны, $\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0$, и мы закончили.

В оптической ловушке, применение которой обсуждалось в статье выше, поле не является статичным, и мы должны быть немного более осторожными. Оптическая ловушка устроена путем встречного распространения двух одинаковых лазерных лучей. Предполагая, что фронты лучей приблизительно плоские,

$$\mathbf{E} = \mathbf{E_1} + \mathbf{E_2}\\ \mathbf{B} = \mathbf{B_1} + \mathbf{B_2} = (\frac{1}{c}\mathbf{\hat{k}}\times\mathbf{E_1}) + (\frac{1}{c}(\mathbf{-\hat{k}})\times\mathbf{E_2})$$ Если лучи расположены так, что они находятся в фазе ( $\mathbf{E_1} = \mathbf{E_2}$), у нас есть $\mathbf{B} = 0$во все времена и так $\nabla\times\mathbf{E}=0$.

Это математика, а что интуиция? В первом порядке есть два вклада в любое изменение количества$-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}$: изменение в$\mathbf{p}$постоянно$\mathbf{E}$и изменение в$\mathbf{E}$постоянно$\mathbf{p}$. Но на самом деле нет силы, противодействующей первому из этих изменений: строго говоря, энергия диполя должна быть как раз интегралом второго из них. Для постоянного диполя первое изменение равно нулю, поэтому мы можем записать энергию как$-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}$. Но для индуцированного диполя это уже не так. Линейная поляризуемость дала нам коэффициент$1/2$, а более общие отношения между$\mathbf{p}$и$\mathbf{E}$может дать более сложные ответы.

Потому что черная область — это половина поля внизу.

Чтобы объяснить: переместите диполь из области без поля в область с напряженностью поля E. При этом возникает сила, пропорциональная дипольному моменту и градиенту E. Для фиксированного диполя эта сила зависит только от градиент (горизонтальная пунктирная линия). Но для индуцированного диполя дипольный момент зависит от E и растет линейно по мере того, как вы переходите от нулевого поля к полной напряженности, поэтому в среднем во время этого движения он только вдвое меньше (сплошная диагональная линия).