Почему высокие здания имеют низкие резонансные частоты?

Question

Почему высокие здания имеют низкие резонансные частоты?

Физика
резонанс
вибрации
строительная физика
материаловедение
механика сплошных сред

РелятивистскийДельфин

Я знаю, что высотные здания имеют низкую собственную частоту, поэтому они более уязвимы для землетрясений, но почему у них низкая собственная частота?

Фабрис НЕЙРЕ

по той же причине длинные такты ксилофона звучат более низкими тонами, то же самое для более длинных/более крупных струн/барабанов (с одинаковым натяжением). ;-)

Ответы (5)

Почему высокие здания имеют низкие резонансные частоты?

по той же причине длинные такты ксилофона звучат более низкими тонами, то же самое для более длинных/более крупных струн/барабанов (с одинаковым натяжением). ;-)

Био · Answer 1

Мы можем смоделировать здание как равномерный кубоид плотности $\rho$ оккупация региона

0 \leq Икс \leq л_{Икс}

$0 \le x \le L_x$

0 \leq у \leq л_{у}

$0 \le y \le L_y$

0 \leq г \leq л_{г}

$0 \le z \le L_z$

с его массой, заданной

М "=" р В "=" р А л_{г} "=" р л_{Икс} л_{у} л_{г}

$M = \rho V = \rho A L_z = \rho L_x L_y L_z$

Здание прочно прикреплено к земле ( $xy$ -самолет).

Игнорируя гравитацию и сжимающее напряжение, учитывайте только влияние напряжения сдвига, действующего на здание.

Пусть смещение здания положительное $x$ направление равномерным напряжением сдвига.

Деформация сдвига, $\theta$ , связано с напряжением сдвига, $\frac{ F_{//} }{A}$ , согласно уравнению

\frac{Ф_{/ /} / А}{θ} "=" С

$\frac{ F_{//} / A }{ \theta } = S$

где $S$ - модуль сдвига и является константой для малых $\theta$ .

Возвращающая сила, прямо пропорциональная его смещению, предполагает простое гармоническое движение (SHM).

Положение точки на здании (по геометрии) равно

Икс "=" {Икс}_{0} + г_{0} загар θ

$x = x_0 + z_0 \tan \theta$

у "=" у_{0}

$y = y_0$

г "=" г_{0}

$z = z_0$

Поскольку смещение предполагается малым, мы можем использовать приближение первого порядка для $\tan \theta$ .

Икс \approx {Икс}_{0} + г_{0} θ

$x \approx x_0 + z_0 \theta$

Чтобы получить соответствующую скорость, возьмите производную положения по времени.

в_{Икс} "=" г_{0} \frac{г θ}{г т}

$v_x = z_0 \frac{d\theta}{dt}$

в_{у} "=" 0

$v_y = 0$

в_{г} "=" 0

$v_z = 0$

Далее мы пытаемся вычислить кинетическую энергию здания. Для элемента малой массы с нейтральным положением при $(x_0,y_0,z_0)$ занимающий объем $dV$ , его кинетическая энергия определяется выражением

\begin{aligned} г К & "=" \frac{1}{2} в^{2} г М \\ "=" \frac{1}{2} в_{Икс}^{2} р г В \\ "=" \frac{1}{2} (г_{0} \frac{г θ}{г т})^{2} р г В \end{aligned}

$\begin{align} dK &= \frac{1}{2} v^2 dM \\ &= \frac{1}{2} v_x^2 \rho dV \\ &= \frac{1}{2} (z_0 \frac{d\theta}{dt})^2 \rho dV \end{align}$

Для листа элемента массы на высоте $z$ , и занимающий толщину $dz$ , его кинетическая энергия

г К "=" \frac{1}{2} г^{2} (\frac{г θ}{г т})^{2} р (А г г)

$dK = \frac{1}{2} z^2 (\frac{d\theta}{dt})^2 \rho (Adz)$

Полная кинетическая энергия здания определяется выражением

\begin{aligned} К & "=" \frac{1}{2} (\frac{г θ}{г т})^{2} р А \int_{0}^{л_{г}} г^{2} г г \\ "=" \frac{1}{6} (\frac{г θ}{г т})^{2} р А л_{г}^{3} \end{aligned}

$\begin{align} K &= \frac{1}{2} (\frac{d\theta}{dt})^2 \rho A \int_0^{L_z} z^2 dz \\ &= \frac{1}{6} (\frac{d\theta}{dt})^2 \rho A L_z^3 \end{align}$

Далее мы вычисляем потенциальную энергию, описываемую консервативной поперечной силой

Ф_{/ /} (θ) "=" - С А θ \hat{Икс}

$\mathbf{F_{//}}(\theta) = - S A \theta \hat{\mathbf{x}}$

\begin{aligned} U (θ) & "=" - \int Ф_{/ /} \cdot г Икс \\ "=" - \int_{0}^{θ} (- С А ф) л_{г} г ф \\ "=" \frac{1}{2} С А л_{г} θ^{2} \end{aligned}

$\begin{align} U(\theta) &= - \int \mathbf{F_{//}} \cdot d \mathbf{x} \\ &= - \int_0^\theta (-S A \phi) L_z d\phi \\ &= \frac{1}{2} S A L_z \theta^2 \end{align}$

Поскольку энергия сохраняется, пусть полная энергия равна $E$

К + U "=" Е

$K + U = E$

\frac{1}{6} (\frac{г θ}{г т})^{2} р А л_{г}^{3} + \frac{1}{2} С А л_{г} θ^{2} "=" Е

$\frac{1}{6} (\frac{d\theta}{dt})^2 \rho A L_z^3 + \frac{1}{2} SAL_z \theta^2 = E$

(\frac{г θ}{г т})^{2} + \frac{3 С}{л_{г}^{2} р} θ^{2} "=" \frac{6 Е}{М л_{г}^{2}}

$(\frac{d\theta}{dt})^2 + \frac{3S}{L_z^2 \rho} \theta^2 = \frac{6E}{M L_z^2}$

Это дифференциальное уравнение СГМ , и его собственная (угловая) частота определяется выражением

\begin{aligned} ю_{0} & "=" \sqrt{\frac{3 С}{л_{г}^{2} р}} \\ "=" {\frac{1}{л}}_{г} \sqrt{\frac{3 С}{р}} \\ "=" 2 π ф_{0} \end{aligned}

$\begin{align} \omega_0 &= \sqrt{\frac{3S}{L_z^2\rho}} \\ &= \frac 1 L_z \sqrt{\frac{3S}{\rho}} \\ &= 2 \pi f_0 \end{align}$

$f_0$ и $L_z$ обратно пропорциональны друг другу. Следовательно, высокое здание будет иметь низкую резонансную частоту.

+1 Сохраняйте это высокое качество для будущих сообщений. Добро пожаловать в физику SE!

тмвилсон26 · Answer 2

Чтобы возбудить в чем-то резонанс, нужно производить колебания, складывающиеся когерентно или синфазно. Это означает, что когда вы вибрируете на объекте, вы хотите, чтобы отражения вибрации добавлялись к новым поступающим вибрациям. Этим отражениям потребуется время, чтобы добраться от одного конца объекта до другого, учитывая конечную скорость звука. . Чем выше здание, тем больше времени требуется вибрациям, чтобы добраться от основания до вершины здания. Следовательно, для возбуждения резонанса требуется волна более низкой частоты.

Так же, как органные трубы самых низких частот являются самыми длинными (самыми высокими).

документальная наука · Answer 3

Вообще говоря, механические конструкции, если они вообще «звенят», будут звенеть на частотах, определяемых свойствами жесткости (упругости) и массы. Частота в большинстве случаев увеличивается с увеличением жесткости, но уменьшается с увеличением массы.

Здания имеют значительную жесткость, но не обязательно такую большую, учитывая относительную массу. Таким образом, именно относительная жесткость по отношению к массе определяет низкие частоты, которые можно наблюдать в зданиях.

my2cts · Answer 4

Отличные ответы были даны выше, поэтому они могут в значительной степени совпадать с моими.

Рассмотрим массу $m$ в конце пружины с жесткостью пружины $k$ . Следует признать, что это очень грубая модель, но у физиков есть способ создавать простые модели. Назовем это сосредоточенной 1D-моделью здания. Резонансная частота $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ . Для более высокого здания постоянная пружины $k$ идет вниз, как $1/h$ . При этом масса $m$ увеличивается с $h$ . Таким образом, в этой очень простой модели частота масштабируется с $1/h$ .

Одним из способов решения этой проблемы является использование настроенного демпфера массы .

Модель достаточно хороша, чтобы проиллюстрировать, почему более высокие здания имеют более низкие резонансные частоты. Не используйте его при строительстве реального здания.
Не могли бы вы объяснить, почему $k$ идет как $1/h$ для высотных зданий? Интуитивно я склонен думать, что $k$ примерно одинакова для зданий любой высоты и в основном зависит от материалов самих зданий, а не от их высоты.
@lobotomized_sheep_99 К счастью, вам не нужно полагаться на свою интуицию. Как жесткость пружины зависит от длины пружины, хорошо известно физике. См., например , en.wikipedia.org/wiki/Series_and_parallel_springs .
Спасибо. Тогда я понятия не имею, почему @my2cts заминусовали тебя.

пользователь191954 · Answer 5

Настоящие маятники — это маятники с неточечным распределением массы. Для них, чтобы вычислить период времени как функцию длины, мы можем применить обычную формулу для гармонического движения после рассмотрения длины осциллятора как расстояния между точкой вращения и центром масс. Высокое здание, очевидно, будет иметь довольно высокий центр масс, следовательно, у него будет очень низкая частота. Это похоже на рассмотрение очень длинного простого маятника, хотя уравнения несколько отличаются.

Более конкретно, мы можем смоделировать здание как стоячую волну с одним открытым концом. Уравнение для положения в стоячей волне:

у "=" 2 А потому что (ю т) грех (\frac{2 π Икс}{л})

$y=2A\cos(\omega t)\sin(\frac{2\pi x}{L})$ где

L

$L$ общая длина строки,

x

$x$ - расстояние конкретной точки от конца пружины, а

ю "=" 2 π ф

$\omega = 2\pi f$ Также,

ф "=" \frac{1}{2 л} \times к^{'}

${f=\frac{1}{2L}\times k'}$

k^{'}

$k'$ зависит от массы на единицу длины тела и напряжения.

L

$L$ это длина всего тела.

Очевидно, что существует обратная пропорция между частотой и длиной, поэтому высокое здание будет иметь низкую частоту.

Почему высокие здания имеют низкие резонансные частоты?

РелятивистскийДельфин

Фабрис НЕЙРЕ

Ответы (5)

Био

Стефан Бишоф

тмвилсон26

Джон Кастер

документальная наука

my2cts

my2cts

необработанный_парамедицинский_карник

my2cts

необработанный_парамедицинский_карник

my2cts

пользователь191954

Об уравнениях энергии одномерных поперечных волн

Может ли собственная частота создаваться затухающими колебаниями?

Степень анизотропии кристаллических тензоров

Каковы правила разбивания стакана голосом?

Как работает гитара?

Почему более высокие частоты усиливаются меньше, если наполнить бутылку более теплой водой, а не более холодной?

Нерезонансные, но эффективные частоты

Какая-нибудь научная основа "кристаллической энергии"? [закрыто]

Теория узоров, сформированных на пластинах Хладни?

Применим ли закон Гука к микроскопическим величинам сжатия?