Почему закон индукции Фарадея и закон Максвелла-Ампера (без источников) не симметричны?

Question

Почему закон индукции Фарадея и закон Максвелла-Ампера (без источников) не симметричны?

двойственность
Физика
си-единицы
абсолютные единицы
электромагнетизм
уравнения Максвелла

Гаурав

Мне было интересно, почему закон индукции Фарадея и закон Максвелла-Ампера (без источников) не полностью симметричны в том смысле, что закон Максвелла-Ампера имеет $\epsilon_0 \mu_0$ член справа (в единицах СИ), а в законе Фарадея - нет, поскольку симметрия является важной особенностью большинства физических законов.

\begin{aligned} \nabla \times Е & "=" - \frac{\partial Б}{\partial т} \\ \nabla \times Б & "=" {мю}_{0} ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} \\ \nabla\times\mathbf B&=\color{blue}{\mu_0\varepsilon_0}\frac{\partial\mathbf E}{\partial t} \end{align}$

В популярном справочнике говорится, что причина в том, что «мы используем единицы СИ». Может ли кто-нибудь сказать мне, как использование той или иной единицы может повлиять на симметрию физических законов, записанных в их математической форме?

честный_вивер

Что вы понимаете под законом Максвелла ? Я думал, что есть уравнения Максвелла, и каждое из них связано с каким-то прошлым человеком (например, закон Ампера). Вы имеете в виду одно конкретное уравнение Максвелла?

Гаурав

В частности, закон индукции Максвелла.

пользователь4552

Я никогда не слышал термина «закон индукции Максвелла». Вы имеете в виду

\partial E / \partial t

$\partial E/\partial t$ член в уравнениях Максвелла?

Гаурав

Точно. (если «E» означает электрический поток). Пожалуйста, отредактируйте вопрос, если вы считаете, что он недостаточно сформулирован.

Кайл Канос

Я не вижу разницы между ними, оба пишутся как

\nabla \times E = - \partial B / \partial t

$\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ в единицах СИ и

\nabla \times E = - (1 / c) \partial B / \partial t

$\nabla\times\mathbf E=-(1/c)\partial\mathbf B/\partial t$ в гауссовских единицах.

Хавьер

@KyleKanos: Насколько я могу судить, вопрос в том, почему

\nabla \times B = ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}

$\nabla \times \mathbf{B} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ . Ответ в том, что

ϵ_{0} μ_{0} = 1 / c^{2}

$\epsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$ , а константа нужна для того, чтобы единицы отображались правильно.

Кайл Канос

@JavierBadia: это закон Ампера (без

J

$\mathbf J$ исправление, если вам не нужен термин без источника), а не закон Фарадея. Даже в этом случае обе формы содержат один и тот же фактор.

Гаурав

@JavierBadia: Вы правильно интерпретировали мой вопрос. Но ваш ответ не оставил моих сомнений. Для вашего понимания я хотел бы поставить свой вопрос по-другому: существует ли универсальная единица, с помощью которой все такие уравнения, которые физически симметричны, стали бы и математически симметричными?

Никос М.

Эти параметры могут быть включены в уравнения простым выбором размерностей или переопределением

\vec{E}

$\vec{E}$ и

\vec{B}

$\vec{B}$ (что делает уравнения симметричными). Однако есть еще одна асимметрия, которая является наиболее важной , отсутствие каких-либо магнитных монополей (в отличие от электрических монополей, например, электронов).

Гаурав

@НикосМ. : Но ведь отсутствие магнитных монополюсов не доказано, верно? Поскольку законы, которые я сформулировал, предполагаются физически симметричными, не должны ли правила выбора единиц быть такими, чтобы сомневаться в существующих симметриях над теми, существование которых не доказано? (например, существование магнитных монополей).

Никос М.

@Simha, конечно, я бы сказал, что существование магнитных монополей еще более недоказанно :)

Гаурав

Именно так. Ха!

ЭйгенДавид

Если вы используете H вместо B, восстанавливается определенная симметрия:

\nabla \times E = - μ_{0} \partial_{t} H

$\nabla\times E=-\mu_0\partial_t H$ и

\nabla \times H = ϵ_{0} \partial_{t} E

$\nabla\times H=\epsilon_0\partial_t E$ .

Ответы (3)

Почему закон индукции Фарадея и закон Максвелла-Ампера (без источников) не симметричны?

Что вы понимаете под законом Максвелла ? Я думал, что есть уравнения Максвелла, и каждое из них связано с каким-то прошлым человеком (например, закон Ампера). Вы имеете в виду одно конкретное уравнение Максвелла?
В частности, закон индукции Максвелла.
Я никогда не слышал термина «закон индукции Максвелла». Вы имеете в виду $\partial E/\partial t$ член в уравнениях Максвелла?
Точно. (если «E» означает электрический поток). Пожалуйста, отредактируйте вопрос, если вы считаете, что он недостаточно сформулирован.
Я не вижу разницы между ними, оба пишутся как $\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ в единицах СИ и $\nabla\times\mathbf E=-(1/c)\partial\mathbf B/\partial t$ в гауссовских единицах.
@KyleKanos: Насколько я могу судить, вопрос в том, почему $\nabla \times \mathbf{B} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ . Ответ в том, что $\epsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$ , а константа нужна для того, чтобы единицы отображались правильно.
@JavierBadia: это закон Ампера (без $\mathbf J$ исправление, если вам не нужен термин без источника), а не закон Фарадея. Даже в этом случае обе формы содержат один и тот же фактор.
@JavierBadia: Вы правильно интерпретировали мой вопрос. Но ваш ответ не оставил моих сомнений. Для вашего понимания я хотел бы поставить свой вопрос по-другому: существует ли универсальная единица, с помощью которой все такие уравнения, которые физически симметричны, стали бы и математически симметричными?
Эти параметры могут быть включены в уравнения простым выбором размерностей или переопределением $\vec{E}$ и $\vec{B}$ (что делает уравнения симметричными). Однако есть еще одна асимметрия, которая является наиболее важной , отсутствие каких-либо магнитных монополей (в отличие от электрических монополей, например, электронов).
@НикосМ. : Но ведь отсутствие магнитных монополюсов не доказано, верно? Поскольку законы, которые я сформулировал, предполагаются физически симметричными, не должны ли правила выбора единиц быть такими, чтобы сомневаться в существующих симметриях над теми, существование которых не доказано? (например, существование магнитных монополей).
@Simha, конечно, я бы сказал, что существование магнитных монополей еще более недоказанно :)
Если вы используете H вместо B, восстанавливается определенная симметрия: $\nabla\times E=-\mu_0\partial_t H$ и $\nabla\times H=\epsilon_0\partial_t E$ .

ПрофРоб · Answer 1

Уравнения Максвелла в вакууме симметричны задаче с единицами измерения, которые вы идентифицировали. В единицах СИ

\nabla \cdot Е "=" 0 \nabla \cdot Б "=" 0

$\nabla \cdot {\bf E} = 0\ \ \ \ \ \ \nabla \cdot {\bf B} =0$

\nabla \times Е "=" - \frac{\partial Б}{\partial т} \nabla \times Б "=" {мю}_{0} ϵ_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}

$\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\ \ \ \ \ \ \nabla \times {\bf B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}$

Если мы позволим $\mu_0=1$ , $\epsilon_0 =1$ (фактически говоря, мы принимаем систему единиц, в которой $c=1$ , то эти уравнения становятся полностью симметричными относительно замены ${\bf E}$ и ${\bf B}$ за исключением знака минус в законе Фарадея. Они симметричны вращению (см. ниже).

Если вводятся исходные члены, то это нарушает симметрию, но только потому, что мы, по-видимому, живем во Вселенной, где не существует магнитных монополей. Если да, то уравнения Максвелла можно записать симметрично. Предположим, что плотность магнитного заряда $\rho_m$ и плотность магнитного тока ${\bf J_{m}}$ , то пишем

\nabla \cdot Е "=" р \nabla \cdot Б "=" р_{м}

$\nabla \cdot {\bf E} = \rho\ \ \ \ \ \ \nabla \cdot {\bf B} = \rho_m$

\nabla \times Е "=" - \frac{\partial Б}{\partial т} - {Дж}_{м} \nabla \times Б "=" \frac{\partial Е}{\partial т} + Дж

$\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} - {\bf J_m}\ \ \ \ \ \ \nabla \times {\bf B} = \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} + {\bf J}$

При этих определениях уравнения Максвелла приобретают симметрию к преобразованиям двойственности. Если вы положите $\rho$ и $\rho_m$ ; ${\bf J}$ и ${\bf J_m}$ ; ${\bf E}$ и ${\bf H}$ ; ${\bf D}$ и ${\bf B}$ в матрицы-столбцы и работать с ними всеми с матрицей вращения формы

(\begin{array}{cc} потому что ф & - грех ф \\ грех ф & потому что ф \end{array}),

$\left( \begin{array}{cc} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array} \right),$ где

ϕ

$\phi$ — некоторый угол поворота, то результирующие преобразованные источники и поля также подчиняются тем же уравнениям Максвелла. Например, если

ϕ = π / 2

$\phi=\pi/2$ затем поля E и B меняются местами; электроны будут иметь магнитный заряд, а не электрический заряд и так далее.

Тогда как можно спорить о том, что мы определяем как электрические и магнитные заряды, в настоящее время эмпирическим фактом является то, что каким бы ни было отношение электрического заряда к магнитному (поскольку любое отношение может быть сделано для удовлетворения симметричным уравнениям Максвелла), все частицы, по-видимому, имеют такое же отношение, поэтому мы решили зафиксировать его так, чтобы один из типов заряда всегда был равен нулю, т. е. никаких магнитных монополей.

Я упоминаю все это действительно как любопытство. Мне кажется, что настоящие симметрии уравнений Максвелла проявляются только при рассмотрении электромагнитных потенциалов .

например, если мы вставим $B = \nabla \times {\bf A}$ и $E= -{\bf \nabla V} - \partial {\bf A}/\partial t$ в наш закон Ампера

\nabla \times (\nabla \times А) "=" \frac{\partial}{\partial т} (- \nabla В - \frac{\partial А}{\partial т}) + Дж,

$\nabla \times (\nabla \times {\bf A}) = \frac{\partial}{\partial t} \left({\bf -\nabla V} - \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\right) +{\bf J},$

- \nabla^{2} А + \nabla (\nabla \cdot А) "=" - \nabla \frac{\partial В}{\partial т} - \frac{\partial^{2} А}{\partial т^{2}} + Дж .

$-\nabla^2 {\bf A} +\nabla(\nabla \cdot {\bf A}) = -\nabla \frac{\partial V}{\partial t} - \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2} + {\bf J}.$ Затем с помощью манометра Лоренца

\nabla \cdot А + \frac{\partial В}{\partial т} "=" 0

$\nabla \cdot {\bf A} + \frac{\partial V}{\partial t} = 0$ мы можем получить

\nabla^{2} А - \frac{\partial^{2} А}{\partial т^{2}} + Дж "=" 0

$\nabla^2 {\bf A} - \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2} + {\bf J} = 0$ Так называемое неоднородное волновое уравнение. Аналогичный набор операций над законом Гаусса дает

\nabla^{2} В - \frac{\partial^{2} В}{\partial т^{2}} + р "=" 0

$\nabla^2 V - \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} + \rho= 0$

Эти поразительно симметричные уравнения указывают на тесную связь между теорией относительности и электромагнетизмом, а также на то, что электрические и магнитные поля на самом деле являются частью электромагнитного поля. Если кто-то наблюдает $\rho$ или ${\bf J}$ ; ${\bf E}$ или ${\bf B}$ , полностью зависит от системы отсчета.

Спасибо за время и исчерпывающий ответ, г-н Роб! Поскольку вы говорите, что «удивительно симметричные уравнения выдают тесную связь между теориями относительности», можно ли с уверенностью заключить, что магнитных монополей не существует? Если да, то почему в научном сообществе до сих пор сохраняется неуверенность в их отсутствии?
Спасибо, но я думаю, что другие на сайте могли бы ответить еще более исчерпывающе - я изучаю эти вопросы. Я считаю, что если вы добавите монополи, неоднородные волновые уравнения сохранят свою симметрию.
Сэр, я хотел бы сообщить вам, что мой курс физики еще не достиг той стадии, на которой я мог бы понимать математические термины, которые вы использовали, начиная с «калибровки Лоренца». Однако я знаком с дел-операторами, дифференциальными уравнениями и волновыми уравнениями. Я вернусь к этому вопросу, как только достигну этой стадии. На данный момент меня интересует последний абзац вашего ответа. Если вы говорите, что существование магнитных монополей противоречит существующей тесной связи между теорией относительности и электромагнетизмом, то доказывает ли это их отсутствие?
Я не думаю, что это так, по крайней мере, на представленном здесь уровне. А я и не говорил, что это так. Я просто утверждал, что вам не нужны монополи, чтобы записать законы электромагнетизма симметрично, даже с зарядами и источниками тока.

Хавьер · Answer 2

В гауссовских единицах мы устанавливаем $\epsilon_0 = \frac1{4\pi}$ (и так $\mu_0 = \frac{4\pi}{c^2}$ ) и измените единицы измерения $B$ поэтому и электрическое, и магнитное поля имеют одинаковую размерность. В этих единицах уравнения Максвелла выглядят следующим образом:

\begin{aligned} \nabla \cdot Е & "=" 4 π р \\ \nabla \times Е & "=" - \frac{1}{с} \frac{\partial Б}{\partial т} \\ \nabla \cdot Б & "=" 0 \\ \nabla \times Б & "=" \frac{4 π}{с} Дж + \frac{1}{с} \frac{\partial Е}{\partial т} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 4\pi \rho \\ \nabla \times \mathbf{E} &= - \frac1{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \frac{4\pi}{c} \mathbf{J} + \frac1{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align}$

Думаю, симметрия, которую вы ищете, есть. Важный момент, насколько я могу судить, это сделать так, чтобы $E$ и $B$ имеют одни и те же единицы (и используя тот факт, что $\epsilon_0 \mu_0 = \frac1{c^2}$ ). Вы не сможете избавиться от знака минус, но опять же без этого знака минус вы не получите волны, так что это очень важно.

Тимоти · Answer 3

На самом деле законы электромагнетизма симметричны. Любое событие, допускаемое законами электромагнетизма, допускают его зеркальное отображение. Давайте рассмотрим ситуацию с магнитом, движущимся через катушку. Электроны будут двигаться определенным образом. Давайте посмотрим, что произойдет, если вы проведете зеркальное отражение этого эксперимента, поскольку именно вращающиеся электроны создают магнитное поле, в зеркальном отображении электроны будут двигаться в противоположном направлении, поэтому северный конец будет заменен южным. конец, поэтому магнитное поле будет указывать в противоположном направлении, поэтому магнитное поле будет двигаться в противоположном направлении. Если вы инвертируете объект с постоянным электрическим диполем, положительный конец не превратится в отрицательный конец, но объект будет электрическим диполем и не будет индуцировать ток в катушке. Поэтому,

Почему закон индукции Фарадея и закон Максвелла-Ампера (без источников) не симметричны?

Гаурав

честный_вивер

Гаурав

пользователь4552

Гаурав

Кайл Канос

Хавьер

Кайл Канос

Гаурав

Никос М.

Гаурав

Никос М.

Гаурав

ЭйгенДавид

Ответы (3)

ПрофРоб

Гаурав

ПрофРоб

Гаурав

ПрофРоб

Гаурав

Хавьер

Тимоти

Тензорная формулировка уравнений Максвелла

Симметрия уравнений Максвелла для электромагнитно-магнитного дуализма

Теорема двойственности электромагнетизма

Симметрия в электричестве и магнетизме из-за магнитных монополей

Инвариантность уравнений Максвелла относительно инвертирующих переменных - Справочник и использование

Физическое следствие E→B, B→−EE→B, B→−E\textbf{E}\rightarrow\textbf{B},~~\textbf{B}\rightarrow -\textbf{E} инвариантности Максвелла уравнения

Почему закон индукции Фарадея и закон Максвелла-Ампера не симметричны? [дубликат]

Где я ошибаюсь, выводя первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме?

Как вывести уравнения Максвелла из электромагнитного лагранжиана?

Что означает спектральная плотность потока «на длину волны»?