Симметрия уравнений Максвелла для электромагнитно-магнитного дуализма

Согласно книге Гриффитса по электродинамике, включая магнитный заряд, уравнения Максвелла становятся

$$\begin{align*} \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho_e}{\epsilon_0} &&& \nabla \times \vec{E} + \partial_t \vec{B} &= -\mu_0 \vec{j}_m \\ \nabla \cdot \vec{B} &= \mu_0 \rho_m &&& \nabla \times \vec{B} - \partial_t \vec{E} &= \mu_0 \vec{j}_e \end{align*}$$

где$\rho_e$и$\rho_m$- плотность электрического и магнитного заряда, а$\vec{j}_e$и$\vec{j}_m$– плотности электрического и магнитного тока. я взял$\mu_0 \epsilon_0 = c = 1$для простоты.

В задаче 7.60 он просит показать инвариантность этих уравнений относительно преобразования двойственности

$$\begin{pmatrix} E' \\ B' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E \\ B \end{pmatrix}$$

с той же матрицей, примененной к «вектору-строке» плотности заряда и тока.

Это выглядит как$SO(2)$симметрия. Однако, когда я представил этот факт на экзамене, профессор сказал, что это не вся группа симметрии, демонстрирующая электромагнитную двойственность. К сожалению, он также не знал, что такое полная группа.

Теперь моя идея состояла в том, чтобы определить сложное векторное поле$\vec{F} = \vec{E} + i \vec{B}$с соответствующими комплексными источниками$\rho = \rho_e + i \rho_m$и$\vec{j} = \vec{j}_e + i \vec{j}_m$. Тогда уравнения Максвелла превращаются в

$$\begin{align*} \nabla \cdot \vec{F} &= \rho \\ \nabla \times \vec{F} -i \partial_t \vec{F} &= i \mu_0 \vec{j} \end{align*}$$

Симметрия дуальности, которую я могу здесь подсмотреть, умножается.$\vec{F}$,$\rho$и$\vec{j}$с тем же комплексным числом, которое эквивалентно предыдущему$SO(2)$и масштабирование.

Это полная группа? Если нет, то чего мне еще не хватает?