Почему Земля движется по эллиптической траектории, а не по параболической?

Теперь это не относится к орбите Земли. Силу гравитации можно считать постоянной, поскольку расстояние от Земли до Солнца также можно считать постоянным.

Вы правы в том, что сила или величина гравитационного поля Солнца очень одинакова по всей длине земной орбиты, но направление — нет. В однородном гравитационном поле направление было бы везде одинаковым.

На пути земной орбиты гравитационное поле Солнца указывает в разных направлениях. Это существенное отличие от однородного поля означает, что земная орбита довольно далека от параболы.

Силу гравитации можно считать постоянной, поскольку расстояние от Земли до Солнца также можно считать постоянным, что согласно второму закону Ньютона означает, что ускорение Земли также постоянно. Не означает ли это, что Земля должна двигаться по параболе?

Нет, сила притяжения Солнца к Земле непостоянна по двум причинам:

• он все время меняет направление, то есть всегда направлен к Солнцу, поскольку Земля (в системе отсчета Солнца) вращается вокруг него, и
• она меняется по величине по мере того, как Земля становится ближе и дальше. Это связано с тем, что кинетическая энергия Земли из-за ее орбитального движения в афелии недостаточно велика, чтобы позволить ей двигаться по круговой орбите такого радиуса. И он слишком велик в перигелии, чтобы двигаться по круговой орбите с радиусом перигелия. (И везде между ними вектор скорости не перпендикулярен радиальному вектору между Землей и Солнцем.)

Если бы Земля двигалась по параболе вокруг Солнца, она не находилась бы на замкнутой орбите. Он пройдет мимо Солнца один раз и никогда не вернется. Это потому, что для того, чтобы иметь параболическую орбиту с ньютоновской гравитацией,

Есть ли математическое доказательство (аналогичное тому, которое я упомянул о снарядах), дающее в результате эллиптическую орбиту?

Да, и его можно найти во многих местах, обычно в учебниках по классической механике (и даже по инженерной механике) для второкурсников университета. См. книги Саймона, Марион, Бира и Джонстона, Баргера и Олссона, Тейлора, и это лишь некоторые из них. Это стандартный вывод, связанный с исчислением, и здесь слишком долго его подробно описывать.

И на самом деле снаряд на Земле тоже движется по эллиптической траектории вокруг центра (примерно) Земли. Мы аппроксимируем ньютоновскую гравитацию как постоянную величину, силу постоянного направления для небольших площадей (например, футбольных полей) и получаем параболическую форму, которая на самом деле является хорошим приближением короткого эллиптического пути.

Траектории снарядов на самом деле не параболические вблизи земли. Парабола не означает постоянной полной скорости. Парабола - это постоянная скорость в одном направлении и ускорение в перпендикулярном направлении.

В малом масштабе большинства проблем баллистики земля намного больше, чем траектория снаряда. В таком масштабе Землю можно представить как плоскость. В то время как гравитация притягивает снаряды к центру Земли и, следовательно, является направлением, которое меняется для любого движущегося объекта, это направление не меняется от прямо вниз, опять же в таких малых масштабах. Ускорение направлено прямо вниз, ускорения поперек нет, поэтому результат в близком приближении параболический. Если бы вы внимательно наблюдали за траекторией, и она смогла бы «провалиться» сквозь землю, она бы следовала по эллиптической траектории.

Фактическое уравнение:

c - константы, зависящие от массы земли, углового момента (константа движения) и массы снаряда.

$r$это расстояние снаряда от центра земли. Тета — это та же самая тета из полярных координат.

Позволять:$L=mr^2\dot{\theta}$.

$L$- угловой момент снаряда относительно земли.$\dot{\theta}$– угловая скорость вдоль траектории.

Угловой момент постоянен во времени. Взятие производных обеих сторон дает вам некоторую информацию об эволюции системы во времени.

Если вы правильно установили нулевую координату вашей тэты, вы можете предположить$c_1=0$.

перестановка:

Можно узнать это как уравнение в полярных координатах конического сечения с началом системы координат в фокусе.

Делая это,$c_2/c_0$определяет эксцентриситет вашей траектории. Этот параметр сообщает вам форму траектории снарядов: Орбитальный эксцентриситет.

Меня учили, что когда ускорение, испытываемое телом, постоянно, это тело движется по параболической кривой.

Последняя часть неверна.

Под действием центральной силы тело будет двигаться по некоторому коническому сечению . Парабола — это один из видов конического сечения. Эллипс - это другое. Круг — это еще одно.

Следуете ли вы по кругу, эллипсу или параболе, зависит от начальных условий — величины силы и угловой скорости.

Но в общем случае тела следуют не параболе, а конике.

Гравитационное ускорение действует по направлению к центру масс и подчиняется закону обратных квадратов. Это сделает все истинные траектории либо эллиптическими, либо гиперболическими (в зависимости от скорости объекта относительно скорости убегания действующего на него тела).

Когда мы изучаем движение объектов, находящихся близко к поверхности Земли и перемещающихся на короткие расстояния, центр масс Земли находится очень далеко, поэтому кажется, что гравитация действует равномерно — падающие объекты будут следовать параллельными путями, а ускорение не изменится с высотой. В этих условиях траектории будут параболическими. Но это всего лишь приближения, потому что расстояния, на которых наблюдается движение, очень малы по сравнению с расстоянием до центра масс Земли. Другими словами, квадратичная формула и параболическое движение выполняются, когда вы делаете предположения о направлении и однородности гравитационного поля, но эти предположения полезны только в малом масштабе (относительно гравитационного источника/расстояния).

Движение Земли вокруг Солнца также можно представить как параболическое, но это приближение будет справедливо только на коротких расстояниях. Если вы рассматриваете комету на очень эллиптической орбите вокруг Солнца, отрезок ее пути в апоапсисе или около него можно было бы аппроксимировать как параболический, но это только приближение.

Точно так же движение снаряда «за горизонтом» нельзя просто аппроксимировать параболической траекторией. Например: пушки линкоров эволюционировали до такой степени, что они могли стрелять снарядами на десятки миль. Помимо аэродинамических / ветровых эффектов, параболическая дуга не является адекватным представлением пути снаряда, потому что кривизна земной поверхности и разница в направлении «вниз» становятся значительными по мере прохождения снаряда.

Математическая/геометрическая перспектива

Учтите, что эллипс, парабола и гипербола — это конические сечения , отличающиеся друг от друга эксцентриситетом (окружность — это частный случай эллипса с нулевым эксцентриситетом). Обстоятельства данной проблемы траектории будут определять эксцентриситет и, следовательно, соответствующую конику. В случае «повседневной» физики расстояние до барицентра Земли приближается к бесконечности; это устанавливает эксцентриситет равным 1, и траектория принимает форму параболы. Для задачи «за горизонтом» расстояние до барицентра Земли нельзя считать бесконечным, поэтому траектория принимает форму эллипса.

Я пытаюсь добраться до сути вашего вопроса. Вероятно, есть математический способ перейти от параболической траектории снаряда к орбите, будь она в основном круговой или эллиптической, но я о нем не слышал. Помимо атмосферы, по мере того, как скорость снарядов становится все выше и выше, он достигнет точки, где кривая, по которой движется снаряд, будет почти такой же, как кривая Земли, круговая. Я думаю, что даже при баллистической траектории, если бы большая часть Земли не находилась на его пути, он имел бы эллиптическую траекторию вокруг центра Земли.

Земля не движется по параболической траектории, потому что мы не смогли бы ее наблюдать, если бы она этого не делала. Мы бы не существовали, чтобы наблюдать за этим. Мы не могли наблюдать это, потому что другие траектории не позволяют Земле оставаться достаточно долго на расстоянии от Солнца, которое позволяет жизни развиваться.

Это использует антропный принцип , который чаще используется для объяснения того, почему физические константы имеют значения, которые позволяют жизни развиваться.

В этой идее есть некоторая доля абсурда, но я думаю, что она не совсем абсурдна.