Должна ли волновая функция быть (действительной) аналитической?

Чтобы показать сохранение нормализации волновой функции (пока в одном измерении), нужно показать, что временной дифференциал равен нулю, что влечет за собой следующий шаг:

г г т ∫ − ∞ ∞ Ψ * Ψ г Икс "=" ∫ − ∞ ∞ ∂ ∂ т Ψ * Ψ г Икс

Я видел доказательство этого для Ψ "=" Ψ ( г , т ) , г е С , с условием, что Ψ аналитична на некоторой односвязной комплексной области, содержащей пределы интегрирования. Означает ли это, что допустимая волновая функция должна иметь аналитическое продолжение в область, содержащую реальную линию, или существует альтернативная теорема для реальных функций реальных переменных ( Ψ * Ψ , в данном случае) с более слабыми условиями?

Ответы (1)

Позволять ЧАС — сепарабельное гильбертово пространство. Предположим, что гамильтониан ЧАС является плотно определенным самосопряженным оператором с областью определения Д ( ЧАС ) ⊂ ЧАС . Тогда для любого ф е Д ( ЧАС ) , я ∂ т е − я т ЧАС ф "=" ЧАС е − я т ЧАС ф , где е − я т ЧАС ф является единственным решением уравнения Шрёдингера.

Сейчас, е − я т ЧАС является унитарным оператором для любого т е р . Так что давайте ψ е ЧАС , и рассмотрим

‖ е − я т ЧАС ψ ‖ 2 "=" ⟨ е − я т ЧАС ψ , е − я т ЧАС ψ ⟩ "=" ⟨ ψ , ψ ⟩ "=" ‖ ψ ‖ 2 ,
это верно для любого т е р и любой ψ е ЧАС (общее гильбертово пространство). Таким образом, вы можете видеть, что норма сохраняется с течением времени. Если вы действительно хотите получить производную по времени, вам нужно ограничиться ψ е Д ( ЧАС ) , где вывод имеет смысл, как я написал выше. Итак, для любого ф е Д ( ЧАС ) :
1 2 ∂ т ‖ е − я т ЧАС ф ‖ 2 "=" я м ⟨ е − я т ЧАС ф , ЧАС е − я т ЧАС ф ⟩ "=" 0 ⇒ ‖ е − я т ЧАС ф ‖ 2 "=" ‖ ф ‖ 2 .
Последнее равенство можно распространить на любое ψ е ЧАС аргументом плотности, используя последовательность ( ψ Дж ) Дж е Н векторов в Д ( ЧАС ) приближающийся ψ .

PS Необычно рассматривать пространство волновых функций комплексных переменных, но это возможно в представлении Баргмана-Сигала. В любом случае, вы можете поменять местами знаки вывода и интегрирования, если сможете применить теорему о доминируемой сходимости (записав производную как предел), например, если волновая функция дифференцируема с ограниченной производной. Также в доказательстве, которое я написал выше, предельная процедура подразумевается и оправдывается дифференцируемостью в т из е − я т ЧАС (в смысле сильного/слабого оператора в области ЧАС / ЧАС 1 / 2 ).

Дело в том, что нормировка во времени волновой функции может быть доказана для любой волновой функции физического квантового пространства, поскольку временная эволюция (решение уравнения Шредингера) унитарна. Это требование квантовых теорий, и его необходимо явно проверять: обычно это делается для проверки самосопряженности оператора Гамильтона.
Должна ли волновая функция быть (действительной) аналитической?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v