Поиск доказательства сохранения релятивистского импульса Использование первых принципов

Сохранение энергии-импульса является фундаментальным принципом теории относительности; это «встроено» в уравнение Эйнштейна

$$G^{ab}=8\pi G T^{ab}.$$ Это можно доказать для взаимодействий в квантовой теории поля, но это тяжелое доказательство. В противном случае лучше всего принять его как фундаментальный принцип (его также можно доказать из теоремы Нётер, но это зависит от эквивалентной переформулировки законов Ньютона, и аргумент можно рассматривать как круговой).

Что касается другой части вашего вопроса,$4$-импульс, или энергия-импульс$(E,\mathbf p)$, это$4$-вектор. Так что доказывать нечего.$4$-вектора одинаковы во всех кадрах. Возможно, это может помочь, если вы определите скорость$4$-вектор для покоящегося тела$v=(1,0,0,0)$, и получить его вид после преобразования Лоренца. Затем вы можете определить$4$- импульс в обычном режиме

$$p = mv.$$

Поскольку ОП просит найти, и я цитирую здесь,

формула для релятивистского импульса при условии сохранения импульса для инерциальных систем отсчета

(последнее слово — это мое предположение, которое имеет смысл), мы делаем следующее.

Сначала определим орбиты частиц как функции$x^\mu(\tau)$в пространстве-времени, где$\tau$— произвольный лоренц-инвариантный параметр. Действие

$$A=\int d\tau\ L(x^\mu(\tau),\dot x^\mu(\tau),\tau)$$ где$\dot x^\mu(\tau)$обозначает производную по параметру$\tau$. Если лагранжиан зависит только от инвариантных скалярных произведений вида$x^\mu x_\mu,x^\mu\dot x_\mu,\dot x^\mu \dot x_\mu$, то она инвариантна относительно преобразований Лоренца $$x^\mu\to \dot x^\mu=\Lambda^\mu_\nu x^\nu$$ где$\Lambda$удовлетворяет$\Lambda g\Lambda^T=g$с$g_{\mu\nu}=(1,-1,-1,-1)$.

Для свободной массивной точечной частицы в пространстве-времени лагранжиан равен

$$L=-mc\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}.$$ Он инвариантен относительно$\tau\to f(\tau)$для произвольного и достаточно гладкого$f$. Под переводами вроде $$\delta_sx^\mu(\tau)=x^\mu(\tau)-\epsilon^\mu(tau)$$ лагранжиан инвариантен, удовлетворяя$\delta_sL=0$. Таким образом, применяя Эйлера-Лагранжа для вычисления дисперсии, мы получаем $$0=\int_{\tau_\mu}^{\tau_\nu}d\tau\left(\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\delta_sx^\mu+\frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}\delta_s\dot x^\mu\right)=-\epsilon^\mu\int_{\tau_\mu}^{\tau_\nu}d\tau\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}\right).$$

Таким образом, заряды Нётер равны

$$-\frac{\partial L}{\partial\dot x^\mu}=mc\frac{\dot x^\mu(\tau)}{\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}}=mcu^\mu\equiv p^\mu$$

и удовлетворяет

$$\frac{d}{d\tau}p^\mu(\tau)=0$$

Это и есть сохранение 4-импульса, если мы заметим, что$p^\mu$действительно является 4-импульсом, который можно отметить, определив$\tau$быть физическим временем$t=x^0/c$. Также обратите внимание, что$u^\mu$есть безразмерная 4-скорость частицы, и, следовательно, 4-импульс сохраняет свой вид из ньютоновской механики.

Таким образом, если можно согласиться с лагранжианом, то определение 4-импульса как сохраняющегося нётеровского заряда его выпадает из определений и Эйлера-Лагранжа.

При столкновении сохранение 4-импульса можно описать многоугольником (точно так же, как диаграмма сил свободного тела, действующих на объект в статическом равновесии):

$$\sum_i \tilde P_{i,\rm before} - \sum_j \tilde P_{j,\rm after}=\tilde 0.$$

Затем, как говорит @stackoverblown, преобразования Лоренца являются линейными преобразованиями (точно так же, как евклидово вращение и преобразование Галилея). Итак, этот многоугольник трансформируется в другой многоугольник (как определено Преобразованием Лоренца).

Сохранение импульса смешивается с сохранением энергии, когда вы достигаете релятивистской скорости.

$$E^{'} = \gamma (E - v p)$$ $$p^{'} = \gamma (p - \frac{v E}{c^2})$$ Теперь, если у вас есть сохранение$E_1+E_2 = E_3+E_4$и$p_1 + p_2 = p_3 + p_4$то, поскольку преобразование Лоренца является линейным, они просто преобразуются в$E^{'}_1 + E^{'}_2 = E^{'}_3 + E^{'}_4$и$p^{'}_1 + p^{'}_2 = p^{'}_3 + p^{'}_4$в новом кадре.

Импульс сохраняется только в том случае, если на вашу систему не действует внешняя сила. Поскольку сила является производной импульса по времени, импульс сохраняется, если внешняя сила, действующая на частицу, равна нулю. Позвольте мне сделать это более математическим:$0 = \vec f = d\vec p / dt$. Это верно для нерелятивистского и релятивистского случая.

Конечно, можно написать лагранжиан, а затем применить теорему Нётер, так как это больше математика. Но в основном ответ так же прост, как я выразился.